Question

18．設(shè)函數(shù)f（x）=|x+$\sqrt{a}$|-|x-$\sqrt{1-a}$|．
（I）當(dāng)a=1時(shí)，求不等式f（x）≥$\frac{1}{2}$的解集；
（Ⅱ）若對(duì)任意a∈[0，1]，不等式f（x）≥b的解集為空集，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）當(dāng)a=1時(shí)，利用絕對(duì)值的意義求得不等式的解集．
（Ⅱ）由題意可得b大于f（x）的最大值．再根據(jù)絕對(duì)值的意義可得f（x）的最大值為$\sqrt{1-a}$+$\sqrt{a}$，可得實(shí)數(shù)b的范圍．

解答 解：（I）當(dāng)a=1時(shí)，不等式f（x）≥$\frac{1}{2}$，即|x+1|-|x|≥$\frac{1}{2}$，
即數(shù)軸上的x對(duì)應(yīng)點(diǎn)到-1對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離減去它到原點(diǎn)的距離大于$\frac{1}{2}$，
而-0.25對(duì)應(yīng)點(diǎn)到-1對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離減去它到原點(diǎn)的距離正好等于$\frac{1}{2}$，
故|x+1|-|x|≥$\frac{1}{2}$ 的解集為{x|x≥-0.25}．
（Ⅱ）若對(duì)任意a∈[0，1]，不等式f（x）≥b的解集為空集，即 f（x）＜b恒成立，
則b大于f（x）的最大值．
函數(shù)f（x）=|x+$\sqrt{a}$|-|x-$\sqrt{1-a}$|表示數(shù)軸上的x對(duì)應(yīng)點(diǎn)到-$\sqrt{a}$對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離減去它到$\sqrt{1-a}$對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離，
故f（x）的最大值為$\sqrt{1-a}$+$\sqrt{a}$，故實(shí)數(shù)b＞$\sqrt{1-a}$+$\sqrt{a}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查絕對(duì)值的意義，絕對(duì)值不等式的解法，函數(shù)的恒成立問(wèn)題，屬于中檔題．