Question

1．已知函數(shù)f（x）=xlnx+ax²-1，且f'（1）=-1．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若對(duì)于任意x∈（0，+∞），都有f（x）-mx≤-1，求m的最小值．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)f′（1）=-1，求出a的值，從而求出函數(shù)的解析式即可；
（2）問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)于任意x∈（0，+∞），都有l(wèi)nx-x≤m．設(shè)g（x）=lnx-x，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出g（x）的最大值，從而求出m的最小值即可．

解答 解：（1）對(duì)f（x）求導(dǎo)，得f'（x）=1+lnx+2ax，
所以f'（1）=1+2a=-1，解得a=-1，
所以f（x）=xlnx-x²-1．
（2）由f（x）-mx≤-1，得xlnx-x²-mx≤0，
所以對(duì)于任意x∈（0，+∞），都有l(wèi)nx-x≤m．
設(shè)g（x）=lnx-x，則$g'（x）=\frac{1}{x}-1$．
令g'（x）=0，解得x=1．
當(dāng)x變化時(shí)，g（x）與g'（x）的變化情況如下表：

x	（0，1）	1	（1，+∞）
g'（x）	+	0
g（x）	↗	極大值	↘

所以當(dāng)x=1時(shí)，g（x）_max=g（1）=-1．
因?yàn)閷?duì)于任意x∈（0，+∞），都有g(shù)（x）≤m成立，
所以m≥-1．所以m的最小值為-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)恒成立問(wèn)題，是一道中檔題．