Question

已知焦點在x軸上的橢圓的左右焦點分別為F₁、F₂，橢圓的一個頂點恰好是拋物線x²=4y的焦點，點P是橢圓上一動點且△F₁F₂P的面積最大值為2．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）過橢圓的右焦點F₂作與坐標軸不垂直的直線交橢圓于A，B兩點，點M（m，0）是x軸上不同于原點的一個動點，求滿足條件的實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根據(jù)題意設(shè)橢圓的右焦點（c，0 ），則由點P是橢圓上一動點且△F₁F₂P的面積最大值為2，求出c值，進而可求出a，b值，即得橢圓的標準方程．
（Ⅱ）設(shè)直線l的方程為 y=k（x+2），代入橢圓的方程化簡，把根與系數(shù)的關(guān)系代入=0，解得 m=-=-，再利用不等式的性質(zhì)求出m的取值范圍．
解答：解：（Ⅰ）拋物線的焦點為（0，1），設(shè)橢圓的右焦點（c，0 ），則由題意
∵點P是橢圓上一動點且△F₁F₂P的面積最大值為2．
∴c=2，∴a=，b=1，故橢圓的標準方程為 =1．
（Ⅱ）設(shè)直線l的方程為 y=k（x+2），代入橢圓的方程化簡可得  （1+5k²）x²+20k²x-5=0，
∴x₁+x₂=，x₁•x₂=，
∴（ +）=（x₁-m，y₁）+（x₂-m，y₂ ）=（x₁+x₂-2m，y₁+y₂ ）．
由，可得 （ +）•=（x₁+x₂-2m，y₁+y₂ ）•（x₂-x₁，y₂-y₁）
=（x₁+x₂-2m）（x₂-x₁）+（y₂+y₁）（y₂-y₁）=0，
化簡可得 x₁+x₂-2m+k²（x₁+x₂+4）=0，∴2m=4k²-，
∴m=-=-．∵k²＞0，∴0＜＜，
∴-＜m＜0． 故m的取值范圍是[-，0）．
點評：本題以拋物線為載體，考查求橢圓的標準方程，兩個向量的數(shù)量積公式，不等式的性質(zhì)，求出m=-=-，是解題的關(guān)鍵．