Question

已知函數(shù)f（x）=x²+2|x-a|（a＞0），若f（x）在（-1，1）上的最小值為g（a）．
（1）求g（a）；
（2）證明：當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，恒有f（x）≤g（a）+4．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的最值及其幾何意義

專(zhuān)題：計(jì)算題,證明題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）討論去掉絕對(duì)值號(hào)，再討論a的不同取值范圍從而得到g（a）；
（2）結(jié)合（1）可求f（x）在[-1，1]上的最大值，說(shuō)明最大值不大于g（a）+4即可．

解答： 解：（1）f（x）=x²+2|x-a|=

x2+2x-2a，x≥a x2-2x+2a，x≤a

，
又∵a＞0，
∴①0＜a＜1時(shí)，
g（a）=f（x）_min=f（a）=a²；
②a≥1時(shí)，f（x）在（-1，1）上單調(diào)遞減，無(wú)最小值；
綜上所述，g（a）=a²，（0＜a＜1）
（2）證明：由（1）知，0＜a＜1，
又∵f（-1）=3+2a，f（1）=3-2a；
則f（x）≤3+2a，
又∵g（a）+4-（3+2a）=a²+4-（3+2a）=a²+1-2a=（a-1）²＞0，
∴恒有f（x）≤g（a）+4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)中絕對(duì)值符號(hào)的去除方法，同時(shí)考查了函數(shù)最值的求法及恒成立問(wèn)題的證明，屬于中檔題．