Question

在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，O為B₁D₁的中點，則AC與DD₁所成的角為

 

，AC與D₁C₁所成的角為

 

，AC與B₁D₁所成的角為

 

，AC與A₁B所成的角為

 

，A₁B與B₁D₁所成的角為

 

，AC與BO所成的角為

 

．

Answer 1

考點：異面直線及其所成的角

專題：空間角

分析：利用正方體的性質、異面直線所成角的概念、余弦定理求解．

解答： 解：在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，O為B₁D₁的中點，
∵DD₁⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴DD₁⊥AC，
故AC與DD₁所成的角為90°；
∵D₁C₁∥DC，
∴AC與D₁C₁所成的角為∠ACD，
∵∠ACD=45°，∴AC與D₁C₁所成的角為45°；
∵B₁D₁∥BD，AC⊥BD，∴AC⊥B₁D₁，
∴AC與B₁D₁所成角為90°；
∵AC∥A₁C₁，∴AC與A₁B所成的角為∠BA₁C₁，
∵△BA₁C₁是等邊三角形，∴AC與A₁B所成的角為60°；
∵BD∥B₁D₁，∴A₁B與B₁D₁所成的角為∠A₁BD，
∵△A₁BD為等邊三角形，
∴∠A₁BD=60°，
∴A₁B與B₁D₁所成角為60°；
∵AC∥A₁O，∴∠A₁OB是AC與BO所成的角，
設正方體的棱長為1，則A1O=

2

2

，BO=

1+ 1 4

=

5

2

，A1B=

2

，
∴cos∠A₁OB=

A1O2+BO2-AB2

2A1O•BO

=

1 2 + 5 4 -2

2× 2 2 × 5 2

=-

10

20

．
∴AC與BO所成的角為π-arccos

10

20

．

點評：本題考查異面直線所成的角的求法，是中檔題，解題時要注意空間思維能力的培養(yǎng)．