Question

17．已知四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AD：BC=1：2，BA、CD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，且EF切⊙O于F．
（Ⅰ）求證：EB=2ED；
（Ⅱ）若AB=2，CD=5，求EF的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，可得∠EAD=∠C，進(jìn)而可得△AED∽△CEB，結(jié)合相似三角形的性質(zhì)及已知可得結(jié)論；
（Ⅱ）根據(jù)切割線定理可得EF²=ED•EC=EA•EB，設(shè)DE=x，由AB=2，CD=5構(gòu)造方程，解得DE，進(jìn)而可得EF長(zhǎng)．

解答 證明：（Ⅰ）∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，
∴∠EAD=∠C，
又∵∠DEA=∠BEC，
∴△AED∽△CEB，
∴ED：EB=AD：BC=1：2，
即EB=2ED；
解：（Ⅱ）∵EF切⊙O于F．
∴EF²=ED•EC=EA•EB，
設(shè)DE=x，則由AB=2，CD=5得：
x（x+5）=2x（2x-2），解得：x=3，
∴EF²=24，即EF=2$\sqrt{6}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，切割線定理，難度中檔．