Question

16．在棱長為2的正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D，E分別是BC，BB₁的中點．
（1）求證：A₁B∥AC₁D
（2）求證：CE⊥面AC₁D
（3）求二面角C-AC₁-D的正弦值．

Answer 1

分析 （1），連接A₁C交AC₁于點F，可得DF為△A₁BC的中位線，即DF∥A₁B，可證A₁B∥面AC₁D
（2易得AD⊥面B₁BCC₁，AD⊥CE，
由D，E分別是BC，BB₁的中點，可得CE⊥DC，即可證CE⊥面AC₁D
（3）如圖由（2）得CE⊥面AC₁D，則∠HFC就是二面角C-AC₁-D的平面角，
 在Rt△CHF中，sin∠HFC=$\frac{CH}{CF}=\frac{2}{\sqrt{5}}×\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{10}}{5}$

解答 解：（1）如圖，連接A₁C交AC₁于點F，則F為AC₁的中點，
∴DF為△A₁BC的中位線，故DF∥A₁B，
A₁B?面AC₁D，DF?面AC₁D，
∴A₁B∥面AC₁D；

（2）∵正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D，E分別是BC，BB₁的中點，
∴AD⊥面B₁BCC₁，∴AD⊥CE，
在正方形B₁BCC₁中，∵D，E分別是BC，BB₁的中點，可得△ECB≌DC₁C，
∴∠ECB=∠DC₁C，
即∠CDC₁+∠ECB=90°．∴CE⊥DC，
且AD∩CD=D，∴CE⊥面AC₁D；
（3）如圖由（2）得CE⊥面AC₁D，設(shè)CE交DC₁于H，連接HF，
則∠HFC就是二面角C-AC₁-D的平面角，
在正方形BB₁C₁C中，由射影定理得CC₁²=C₁D•C₁H，⇒${C}_{1}H=\frac{4}{\sqrt{5}}$
由$C{H}^{2}+{C}_{1}{H}^{2}=C{{C}_{1}}^{2}$，⇒CH=$\frac{2}{\sqrt{5}}$．
在Rt△CHF中，sin∠HFC=$\frac{CH}{CF}=\frac{2}{\sqrt{5}}×\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{10}}{5}$．
∴二面角C-AC₁-D的正弦值為$\frac{\sqrt{10}}{5}$．

點評 本題考查了空間線線、線面的位置關(guān)系，考查了轉(zhuǎn)化思想，空間想象能力，屬于中檔題．