Question

8．某次知識(shí)競(jìng)賽規(guī)則如下：在主辦方預(yù)設(shè)固定順序的5個(gè)題中，選手若能正確回答出3個(gè)題，即停止答題，晉級(jí)成功；否則需答滿5個(gè)題．假設(shè)某選手正確回答每個(gè)問(wèn)題的概率都是$\frac{2}{3}$，且每個(gè)題回答的正確與否都相互獨(dú)立．
（Ⅰ）求該選手連續(xù)答對(duì)3道題晉級(jí)的概率；
（Ⅱ）記該選手在競(jìng)賽中答對(duì)題的個(gè)數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)“該選手連續(xù)答對(duì)3道題晉級(jí)”的事件為A，
利用相互獨(dú)立事件的概率公式求概率即可；
（Ⅱ）該選手在競(jìng)賽中答對(duì)題的個(gè)數(shù)為X，寫(xiě)出X的可能取值，
計(jì)算對(duì)應(yīng)的概率值，寫(xiě)出X的分布列，求出數(shù)學(xué)期望值．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)“該選手連續(xù)答對(duì)3道題晉級(jí)”的事件為A，
則P（A）=${（\frac{2}{3}）}^{3}$+$\frac{1}{3}$×${（\frac{2}{3}）}^{3}$+${（\frac{1}{3}）}^{2}$×${（\frac{2}{3}）}^{3}$=$\frac{104}{243}$；
（Ⅱ）該選手在競(jìng)賽中答對(duì)題的個(gè)數(shù)為X，則X的可能取值為0，1，2，3；
P（X=0）=${（\frac{1}{3}）}^{5}$=$\frac{1}{243}$；
P（X=1）=${C}_{5}^{1}$×$\frac{2}{3}$×${（\frac{1}{3}）}^{4}$=$\frac{10}{243}$；
P（X=2）=${C}_{5}^{2}$×${（\frac{2}{3}）}^{2}$×${（\frac{1}{3}）}^{3}$=$\frac{40}{243}$；
P（X=3）=${（\frac{2}{3}）}^{3}$+${C}_{3}^{1}$×$\frac{1}{3}$×${（\frac{2}{3}）}^{3}$+${C}_{4}^{2}$×${（\frac{1}{3}）}^{2}$${×（\frac{2}{3}）}^{3}$=$\frac{64}{81}$
（或P（X=3）=1-$\sum_{i=1}^{3}$P（X=i-1）=1-（$\frac{1}{243}$+$\frac{10}{243}$+$\frac{40}{243}$）=$\frac{64}{81}$）；
∴隨機(jī)變量X的分布列為

X	0	1	2	3
p	$\frac{1}{243}$	$\frac{10}{243}$	$\frac{40}{243}$	$\frac{64}{81}$

數(shù)學(xué)期望為EX=0×$\frac{1}{243}$+1×$\frac{10}{243}$+2×$\frac{40}{243}$+3×$\frac{64}{81}$=$\frac{74}{27}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相互獨(dú)立事件的概率以及離散型隨機(jī)事件的分布列和數(shù)學(xué)期望值的計(jì)算問(wèn)題，是中檔題．