Question

1．如圖所示，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，CD=BC=1，點(diǎn)E為AD邊上的中點(diǎn)，過點(diǎn)D作DF∥BC交AB于點(diǎn)F，現(xiàn)將此直角梯形沿DF折起，使得A-FD-B為直二面角，如圖乙所示．
（1）求證：AB∥平面CEF；
（2）若二面角的余弦值為-$\frac{\sqrt{30}}{10}$，求AF的長．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連接BD，F(xiàn)C交于點(diǎn)O，連接OE．由AB∥OE，得到AB∥平面CEF．
（Ⅱ）以F點(diǎn)為原點(diǎn)，F(xiàn)B，F(xiàn)D，F(xiàn)A分別為x，y，z軸建立空間直角
坐標(biāo)系，設(shè)AF長為a，則F（0，0，0），D（0，1，0），C（1，1，0），A（0，0，a），
E（0，$\frac{1}{2}$，$\frac{a}{2}$），$\overrightarrow{FE}=（0，\frac{1}{2}，\frac{a}{2}），\overrightarrow{FC}$═（1，1，0）． 
求出平面FEC的一個法向量、平面ECD的一個法向量，利用向量的夾角公式求出a，即可求AF的長．

解答 解：（Ⅰ）證明：如圖6所示，連接BD，F(xiàn)C交于點(diǎn)O，連接OE．
因為BCDF為正方形，故O為BD中點(diǎn)．
又E為AD中點(diǎn)，故OE為△AED的中位線．  …（3分）
AB∥OE，又OE?平面CEF，AB?平面CEF，
∴AB∥平面CEF． …（5分）

（Ⅱ）解：因為FD與AF，BF都垂直，又由題意知折為直二面角，
故AF與BF亦垂直，
故可以F點(diǎn)為原點(diǎn)，F(xiàn)B，F(xiàn)D，F(xiàn)A分別為x，y，z軸建立空間直角
坐標(biāo)系，如圖7所示．
設(shè)AF長為a，則F（0，0，0），D（0，1，0），C（1，1，0），A（0，0，a），
E（0，$\frac{1}{2}$，$\frac{a}{2}$），$\overrightarrow{FE}=（0，\frac{1}{2}，\frac{a}{2}），\overrightarrow{FC}$═（1，1，0）．  …（7分）
設(shè)平面FEC的一個法向量為$\overrightarrow{m}=（x，y，z）$，
$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{FE}=\frac{1}{2}y+\frac{a}{2}z=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{FC}=x+y=0}\end{array}\right.$令y=a，則$\left\{\begin{array}{l}{x=-a}\\{z=-1}\end{array}\right.$∴$\overrightarrow{m}=（-a，a，-1）$．
同理，易求平面ECD的一個法向量$\overrightarrow{n}=（0，a，1）$．       …（10分）
根據(jù)題意知，cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{{a}^{2}-1}{\sqrt{2{a}^{2}+1}•\sqrt{{a}^{2}+1}}$=-$\frac{\sqrt{30}}{10}$，
解得，a=$\sqrt{7}$或a=$\frac{1}{2}$，
經(jīng)分析若a=$\sqrt{7}$時，二面角余弦值應(yīng)為正，故舍去．
綜上，AF=$\frac{1}{2}$．  …（12分）

點(diǎn)評 本題考查了空間線面平行的判定，向量法求二面角，屬于中檔題．