Question

9．在直角坐標(biāo)系xoy中，曲線(xiàn)C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{2}cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$（α為參數(shù)），以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為級(jí)軸，建立極坐標(biāo)系，曲線(xiàn)C₂的極坐標(biāo)方程$ρsin（θ+\frac{π}{4}）=4\sqrt{2}$；
（I）求曲線(xiàn)C₁的普通方程和曲線(xiàn)C₂的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）設(shè)P為曲線(xiàn)C₁上的動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)P到曲線(xiàn)C₂上的距離的最小值的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）曲線(xiàn)C₁的參數(shù)方程消去參數(shù)α，能求出曲線(xiàn)C₁的普通方程，曲線(xiàn)C₂的極坐標(biāo)方程展開(kāi)可得ρsinθ+ρcosθ=8，由此能求出曲線(xiàn)C₂的直角坐標(biāo)方程．
（Ⅱ）設(shè)橢圓上的點(diǎn)P（$\sqrt{2}cosα，sinα$），利用點(diǎn)P到直線(xiàn)的距離公式及三角函數(shù)性質(zhì)能求出點(diǎn)P到曲線(xiàn)C₂上的距離的最小值．

解答 解：（Ⅰ）∵曲線(xiàn)C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{2}cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$（α為參數(shù)），
∴消去參數(shù)α，得曲線(xiàn)C₁的普通方程為：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1．
∵曲線(xiàn)C₂的極坐標(biāo)方程$ρsin（θ+\frac{π}{4}）=4\sqrt{2}$，
展開(kāi)可得：$ρ×\frac{\sqrt{2}}{2}$（sinθ+cosθ）=4$\sqrt{2}$，即ρsinθ+ρcosθ=8．
∴曲線(xiàn)C₂的直角坐標(biāo)方程為：x+y=8．…（5分）
（Ⅱ）∵P為曲線(xiàn)C₁上的動(dòng)點(diǎn)，∴設(shè)橢圓上的點(diǎn)P（$\sqrt{2}cosα，sinα$），
點(diǎn)P到直線(xiàn)O的距離為d=$\frac{|\sqrt{2}cosα+sinα-8|}{\sqrt{2}}$=$\frac{|\sqrt{3}sin（α+θ）-8|}{\sqrt{2}}$，
∴當(dāng)sin（α+θ）=1時(shí)，點(diǎn)P到曲線(xiàn)C₂上的距離的最小值為d_min=$\frac{8\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2}$．…（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查曲線(xiàn)的普通方程、直角坐標(biāo)方程的求法，考查點(diǎn)到曲線(xiàn)的距離的最小值的求法，考查參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程、直角坐標(biāo)方程的互化、點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是中檔題．