Question

如圖，將圓分成n個(gè)區(qū)域，用3種不同顏色給每個(gè)區(qū)域染色，要求相鄰區(qū)域顏色互異，把不同的染色方法種數(shù)記為a_n．
（1）求a₁，a₂，a₃，a₄；
（2）求證：a_n+a_n+1=3×2ⁿ（n≥2）；
（3）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

解：（1）當(dāng)n=1時(shí)，不同的染色方法種數(shù)a₁=3，
當(dāng)n=2時(shí)，不同的染色方法種數(shù)a₂=3×2=6，
當(dāng)n=3時(shí)，不同的染色方法種數(shù)a₃=3×2×1=6，
當(dāng)n=4時(shí)，分扇形區(qū)域1，3同色與異色兩種情形
∴不同的染色方法種數(shù)a₄=3×1×2×2+3×2×1×1=18
（2）證明；依次對(duì)扇形區(qū)域1，2，3，…，n，n+1染色，不同的染色方法種數(shù)為3×2ⁿ（n≥2）
其中扇形區(qū)域1與n+1不同色的有a_n+1種，扇形區(qū)域1與n+1同色的有a_n種．
∴a_n+a_n+1=3×2ⁿ（n≥2）；
（3）a₂+a₃=3×2²，a₃+a₄=3×2³，…，a_n-1+a_n=3×2^n-1，將上述n-2個(gè)等式兩邊分別乘以（-1）^k（k=2，3，…，n-1），再相加得
分析：（1）直接求出n=1時(shí)a₁，n=2時(shí)a₂，n=3時(shí)a₃，n=4時(shí)a₄；的值；
（2）依次對(duì)扇形區(qū)域染色求出a_n然后說明它與a_n+1（n≥2）的關(guān)系式：a_n+a_n+1=3×2ⁿ（n≥2）
（3）由（2）a₂+a₃=3×2²，a₃+a₄=3×2³，…，a_n-1+a_n=3×2^n-1，將上述n-2個(gè)等式兩邊分別乘以（-1）^{k，整理計(jì)算即可}．
點(diǎn)評(píng)：考查排列組合的應(yīng)用，數(shù)列與不等式的關(guān)系的應(yīng)用，數(shù)列的求和的基本方法，二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想，計(jì)算能力，難度較大