Question

19．如圖在一個(gè)60°的二面角的棱上有兩個(gè)點(diǎn)A、B，線段AC、BD分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)面內(nèi)，并且都垂直于棱AB，且AB=AC=1，BD=2，則CD的長為（　�。�

• A． 2
• B． $\sqrt{5}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． 1

Answer 1

分析 由$\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}$，兩邊平方后展開整理，即可求得${\overrightarrow{CD}}^{2}$，則CD的長可求．

解答 解：∵$\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}$，
∴${\overrightarrow{CD}}^{2}={\overrightarrow{CA}}^{2}+{\overrightarrow{AB}}^{2}+{\overrightarrow{BD}}^{2}$+2$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{AB}$+2$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{BD}$+2$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BD}$，
∵$\overrightarrow{CA}$⊥$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{BD}$⊥$\overrightarrow{AB}$，
∴$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{AB}=0$，$\overrightarrow{BD}•\overrightarrow{AB}=0$，
$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{BD}=|\overrightarrow{CA}||\overrightarrow{BD}|$cos120°=-$\frac{1}{2}$×1×2=-1．
∴${\overrightarrow{CD}}^{2}=1+1+4$-2×1=4，
∴|$\overrightarrow{CD}$|=2，
故選：A．

點(diǎn)評 本題考查了向量的多邊形法則、數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系，考查了空間想象能力，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．