Question

【題目】已知橢圓G： 的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1和F2 ， 短軸的兩個(gè)端點(diǎn)分別為B1和B2 ， 點(diǎn)P在橢圓G上，且滿足|PB1|+|PB2|=|PF1|+|PF2|．當(dāng)b變化時(shí)，給出下列三個(gè)命題： ①點(diǎn)P的軌跡關(guān)于y軸對(duì)稱；
②存在b使得橢圓G上滿足條件的點(diǎn)P僅有兩個(gè)；
③|OP|的最小值為2，
其中，所有正確命題的序號(hào)是 ．

Answer 1

【答案】①③
【解析】解：橢圓G： 的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為

F1（ ，0）和F2（﹣ ，0），

短軸的兩個(gè)端點(diǎn)分別為B1（0，﹣b）和B2（0，b），

設(shè)P（x，y），點(diǎn)P在橢圓G上，且滿足|PB1|+|PB2|=|PF1|+|PF2|，

由橢圓定義可得，|PB1|+|PB2|=2a=2 ＞2b，

即有P在橢圓 + =1上．

對(duì)于①，將x換為﹣x方程不變，則點(diǎn)P的軌跡關(guān)于y軸對(duì)稱，

故①正確；

對(duì)于②，由圖象可得軌跡關(guān)于x，y軸對(duì)稱，且0＜b＜ ，

則橢圓G上滿足條件的點(diǎn)P有4個(gè)，

不存在b使得橢圓G上滿足條件的點(diǎn)P僅有兩個(gè)，故②不正確；

對(duì)于③，由圖象可得，當(dāng)P滿足x2=y2，即有6﹣b2=b2，即b= 時(shí)，

|OP|取得最小值，可得x2=y2=2，即有|OP|的最小值為2，故③正確．

所以答案是：①③．