Question

設(shè)函數(shù)f（x）=

sinx

x

（0＜x≤

π

2

）
（1）設(shè)x＞0，y＞0，且x+y＜

π

2

，試比較f（x+y）與f（x）的大�。�
（2）現(xiàn)給出如下3個結(jié)論，請你分別指出其正確性，并說明理由．
①對任意x∈（0，

π

2

]都有cosx＜f（x）＜1成立．
②對任意x∈（0，

π

3

）都有f（x）＜1-

x2

3!

+

x4

5!

-

x6

7!

+

x8

9!

-

x10

11!

成立．
③若關(guān)于x的不等式f（x）＜k在（0，

π

2

]有解，則k的取值范圍是（

2

π

，+∞）．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求出函數(shù)f（x）=

sinx

x

（0＜x≤

π

2

）的導(dǎo)函數(shù)，結(jié)合當(dāng)0＜x＜

π

2

時，f′（x）＜0，可得f（x+y）＜f（x）；
（2）由當(dāng)x→0時，

sinx

x

→cosx，結(jié)合f（x）≤f（

π

2

），可判斷①；根據(jù)1-

x2

3!

+

x4

5!

-

x6

7!

+

x8

9!

-

x10

11!

≈cosx，可判斷②；根據(jù)不等式f（x）＜k在（0，

π

2

]有解，則k＞f（x）_max，可判斷③

解答： 解：（1）∵f（x）=

sinx

x

，
∴f′（x）=

cosx•x-sinx

x2

=

x-tanx

x2

，
當(dāng)0＜x＜

π

2

時，x-tanx＜0恒成立，
故當(dāng)0＜x＜

π

2

時，f′（x）＜0，
故函數(shù)f（x）為減函數(shù)，
∵x＞0，y＞0，且x+y＜

π

2

，
∴0＜x＜x+y＜

π

2

，
∴f（x+y）＜f（x）
（2）當(dāng)x→0時，

sinx

x

→cosx，由（1）得f（x）≤f（

π

2

）=

2

π

＜1，故①正確；
1-

x2

3!

+

x4

5!

-

x6

7!

+

x8

9!

-

x10

11!

≈cosx，對任意x∈（0，

π

3

）都有f（x）＞cos，故②錯誤；
若不等式f（x）＜k在（0，

π

2

]有解，則k＞f（x）_max=

2

π

，故k的取值范圍是（

2

π

，+∞），故③正確．

點評：本題考查的知識點是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，及函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，涉及三角函數(shù)的泰勒展開式等高等數(shù)學(xué)的知識點，故難度較大，屬于難題．