Question

9．對于實數(shù)a和b，定義運算“*”：a*b=$\left\{\begin{array}{l}{-{a}^{2}+2ab-1，a≤b}\\{^{2}-ab，a＞b}\end{array}\right.$，設f（x）=（2x-1）*（x-1），且關(guān)于x的方程為f（x）=m（m∈R）恰有三個互不相等的實數(shù)根x₁，x₂，x₃，則x₁•x₂•x₃的取值范圍是（-$\frac{1}{32}$，0）．

Answer 1

分析 由新定義，可以求出函數(shù)的解析式，進而求出x的方程為f（x）=m（m∈R）恰有三個互不相等的實數(shù)根時，實數(shù)m的取值范圍，及三個實根之間的關(guān)系，進而求出x₁•x₂•x₃的取值范圍．

解答 解：由2x-1≤x-1，得x≤0，此時f（x）=（2x-1）*（x-1）=-（2x-1）²+2（2x-1）（x-1）-1=-2x，
由2x-1＞x-1，得x＞0，此時f（x）=（2x-1）*（x-1）=（x-1）²-（2x-1）（x-1）=-x²+x，
∴f（x）=（2x-1）⊕（x-1）=$\left\{\begin{array}{l}{-2x，x≤0}\\{{-x}^{2}+x，x＞0}\end{array}\right.$，
作出函數(shù)的圖象可得，

要使方程f（x）=m（m∈R）恰有三個互不相等的實數(shù)根x₁，x₂，x₃，不妨設x₁＜x₂＜x₃，
則0＜x₂＜$\frac{1}{2}$＜x₃＜1，且x₂和x₃，關(guān)于x=$\frac{1}{2}$對稱，
∴x₂+x₃=2×$\frac{1}{2}$=1．則x₂+x₃≥2$\sqrt{{{x}_{2}x}_{3}}$，0＜x₂x₃＜$\frac{1}{4}$，等號取不到．
當-2x=$\frac{1}{4}$時，解得x=-$\frac{1}{8}$，
∴-$\frac{1}{8}$＜x₁＜0，
∵0＜x₂x₃＜$\frac{1}{4}$，
∴-$\frac{1}{32}$＜x₁•x₂•x₃＜0，
即x₁•x₂•x₃的取值范圍是（-$\frac{1}{32}$，0），
故答案為：（-$\frac{1}{32}$，0）．

點評 本題考查根的存在性及根的個數(shù)判斷，根據(jù)已知新定義，求出函數(shù)的解析式，并分析出函數(shù)圖象是解答的關(guān)鍵．