Question

（本小題滿(mǎn)分12分）
如圖，正三棱錐的三條側(cè)棱、、兩兩垂直，且長(zhǎng)度均為2．、分別是、的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，過(guò)作平面與側(cè)棱、、或其延長(zhǎng)線(xiàn)分別相交于、、，已知。
（1）求證：⊥平面；
（2）求二面角的大小。

Answer 1

（1）證明見(jiàn)解析。
（2）

（1）證明：依題設(shè)，是的中位線(xiàn)，所以∥，
則∥平面，所以∥。
又是的中點(diǎn)，所以⊥，則⊥。
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140823/20140823134611684238.gif" style="vertical-align:middle;" />⊥，⊥，
所以⊥面，則⊥，
因此⊥面。
（2）作⊥于，連。因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140823/20140823134613026255.gif" style="vertical-align:middle;" />⊥平面，

根據(jù)三垂線(xiàn)定理知，⊥，
就是二面角的平面角。
作⊥于，則∥，則是的中點(diǎn)，則。
設(shè)，由得，，解得，
在中，，則，。
所以，故二面角為。
解法二：（1）以直線(xiàn)分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則


所以
所以
所以平面
由∥得∥，故：平面
（2）由已知設(shè)
則
由與共線(xiàn)得:存在有得
 
同理:

設(shè)是平面的一個(gè)法向量,
則令得 
又是平面的一個(gè)法量

所以二面角的大小為