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15.已知橢圓x216+y29=1,直線l:y=kx+t(k為常數(shù),t≠0)與橢圓相交于A,B兩點,記△AOB的面積為S(其中O為坐標(biāo)原點),則函數(shù)S=f(t)的奇偶性為( �。�
A.偶函數(shù)B.奇函數(shù)
C.非奇非偶函數(shù)D.奇偶性與k的值有關(guān)

分析 由橢圓x216+y29=1焦點在x軸上,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),將直線方程代入橢圓方程,整理得:(9+16k2)x2+32ktx+16t2-16×9=0,由韋達定理及弦長公式可知:丨AB丨=1+k2x1+x224x1x2=1+k22416k2t2+99+16k2,則O到直線AB的距離d=t1+k2,S=12•丨AB丨•d=12t16k2t2+99+16k2,由f(-t)=12t16k2t2+99+16k2=f(t),函數(shù)S=f(t)為偶函數(shù).

解答 解:由題意可知:橢圓x216+y29=1焦點在x軸上,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2).
{y=kx+tx216+y29=1,
整理得:(9+16k2)x2+32ktx+16t2-16×9=0,
由韋達定理可知:x1+x2=-32kt9+16k2,x1•x2=16t216×99+16k2,
由弦長公式可知:丨AB丨=1+k2x1+x224x1x2=1+k2322k2t29+16k224×16t299+16k2=1+k22416k2t2+99+16k2,
由點到直線的距離公式可知:O到直線AB的距離d=0k×0t1+k2=t1+k2
則△AOB的面積S=12•丨AB丨•d=121+k22416k2t2+99+16k2t1+k2=12t16k2t2+99+16k2,
∴S=f(t)=12t16k2t2+99+16k2,
由f(-t)=12t16k2t2+99+16k2=f(t),
∴函數(shù)S=f(t)為偶函數(shù),
故選:B.

點評 本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系,考查韋達定理,弦長公式,點到直線的距離公式及三角形面積公式的綜合應(yīng)用,考查函數(shù)奇偶性的判斷,考查計算能力,屬于中檔題.

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