15.已知橢圓$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}$=1,直線l:y=kx+t(k為常數(shù),t≠0)與橢圓相交于A,B兩點(diǎn),記△AOB的面積為S(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)),則函數(shù)S=f(t)的奇偶性為( 。
A.偶函數(shù)B.奇函數(shù)
C.非奇非偶函數(shù)D.奇偶性與k的值有關(guān)

分析 由橢圓$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}$=1焦點(diǎn)在x軸上,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),將直線方程代入橢圓方程,整理得:(9+16k2)x2+32ktx+16t2-16×9=0,由韋達(dá)定理及弦長(zhǎng)公式可知:丨AB丨=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{({x}_{1}+{x}_{2})^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\frac{24\sqrt{16{k}^{2}-{t}^{2}+9}}{9+16{k}^{2}}$,則O到直線AB的距離d=$\frac{丨t丨}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$,S=$\frac{1}{2}$•丨AB丨•d=$\frac{12丨t丨\sqrt{16{k}^{2}-{t}^{2}+9}}{9+16{k}^{2}}$,由f(-t)=$\frac{12丨t丨\sqrt{16{k}^{2}-{t}^{2}+9}}{9+16{k}^{2}}$=f(t),函數(shù)S=f(t)為偶函數(shù).

解答 解:由題意可知:橢圓$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}$=1焦點(diǎn)在x軸上,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2).
則$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+t}\\{\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{9}=1}\end{array}\right.$,
整理得:(9+16k2)x2+32ktx+16t2-16×9=0,
由韋達(dá)定理可知:x1+x2=-$\frac{32kt}{9+16{k}^{2}}$,x1•x2=$\frac{16{t}^{2}-16×9}{9+16{k}^{2}}$,
由弦長(zhǎng)公式可知:丨AB丨=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{({x}_{1}+{x}_{2})^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{\frac{3{2}^{2}{k}^{2}{t}^{2}}{(9+16{k}^{2})^{2}}-\frac{4×16({t}^{2}-9)}{9+16{k}^{2}}}$=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\frac{24\sqrt{16{k}^{2}-{t}^{2}+9}}{9+16{k}^{2}}$,
由點(diǎn)到直線的距離公式可知:O到直線AB的距離d=$\frac{丨0-k×0-t丨}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{丨t丨}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$,
則△AOB的面積S=$\frac{1}{2}$•丨AB丨•d=$\frac{1}{2}$•$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\frac{24\sqrt{16{k}^{2}-{t}^{2}+9}}{9+16{k}^{2}}$•$\frac{丨t丨}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{12丨t丨\sqrt{16{k}^{2}-{t}^{2}+9}}{9+16{k}^{2}}$,
∴S=f(t)=$\frac{12丨t丨\sqrt{16{k}^{2}-{t}^{2}+9}}{9+16{k}^{2}}$,
由f(-t)=$\frac{12丨t丨\sqrt{16{k}^{2}-{t}^{2}+9}}{9+16{k}^{2}}$=f(t),
∴函數(shù)S=f(t)為偶函數(shù),
故選:B.

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系,考查韋達(dá)定理,弦長(zhǎng)公式,點(diǎn)到直線的距離公式及三角形面積公式的綜合應(yīng)用,考查函數(shù)奇偶性的判斷,考查計(jì)算能力,屬于中檔題.

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(2)令bn=$\frac{1}{{(n+2){a_n}}}$,數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為T(mén)n,證明:對(duì)于任意的n∈N*,都有Tn<$\frac{3}{8}$.

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10.已知函數(shù)$f(x)=\frac{1}{{1+{x^2}}}$,則$f(2016)+f(2015)+…+f(2)+f(\frac{1}{2})+…+f(\frac{1}{2015})$$+f(\frac{1}{2016})$的值為( 。
A.2014B.2015C.2016D.2017

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20.已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,過(guò)F1且與x軸垂直的直線交橢圓于A,B兩點(diǎn),直線AF2與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為C,若$\overrightarrow{A{F}_{2}}$=2$\overrightarrow{{F}_{2}C}$,則橢圓的離心率為(  )
A.$\frac{\sqrt{5}}{5}$B.$\frac{\sqrt{3}}{3}$C.$\frac{\sqrt{10}}{5}$D.$\frac{3\sqrt{3}}{10}$

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7.下面四組函數(shù)中,f(x)與g(x)表示同一個(gè)函數(shù)的是( 。
A.f(x)=|x|,$g(x)={({\sqrt{x}})^2}$B.f(x)=2x,$g(x)=\frac{{2{x^2}}}{x}$C.f(x)=x,$g(x)=\root{3}{x^3}$D.f(x)=x,$g(x)=\frac{1}{{\sqrt{x^2}}}$

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(Ⅰ)當(dāng)m=-1時(shí),求函數(shù)f(x)在[-4,4]上的最大值和最小值;
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