Question

【題目】設(shè)函數(shù)f（x）=xex﹣ax2（a∈R）．
（1）若函數(shù)g（x）= 是奇函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的值；
（2）若對(duì)任意的實(shí)數(shù)a，函數(shù)h（x）=kx+b（k，b為實(shí)常數(shù)）的圖象與函數(shù)f（x）的圖象總相切于一個(gè)定點(diǎn)． ①求k與b的值；
②對(duì)（0，+∞）上的任意實(shí)數(shù)x1 ， x2 ， 都有[f（x1）﹣h（x1）][f（x2）﹣h（x2）]＞0，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵函數(shù)g（x）= 是奇函數(shù)，∴ 恒成立，

即 =﹣ ，∴ax2（e﹣x+ex）=0恒成立，

∴a=0．

（2）①f′（x）=ex（x+1）﹣2ax，設(shè)切點(diǎn)為（x0，y0），

則切線的斜率為f′（x0）=e （x0+1）﹣2ax0，

據(jù)題意f′（x0）是與a無(wú)關(guān)的常數(shù)，故x0=0，k=f′（0）=1，

∵f（0）=0，∴切點(diǎn)為（0，0），

∴切線的方程為h（x）=x，故k=1，b=0．

②∵對(duì)（0，+∞）上的任意實(shí)數(shù)x1，x2，[f（x1）﹣h（x1）][f（x2）﹣h（x2）]＞0恒成立，

∴f（x）﹣h（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，或f（x）﹣h（x）＜0在（0，+∞）上恒成立．

f（x）﹣h（x）=x（ex﹣ax﹣1），

設(shè)p（x）=ex﹣ax﹣1，x∈（0，+∞）．

則p（x）＞0＞0在（0，+∞）上恒成立，或p（x）＜0在（0，+∞）上恒成立．

p′（x）=ex﹣a，

當(dāng)a≤1時(shí)，∵x∈（0，+∞），∴ex＞1，∴p′（x）＞0恒成立，

∴p（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，

∴p（x）＞p（0）=0，符合題意．

當(dāng)a＞1時(shí)，令p′（x）=0得x=lna，

∴當(dāng)0＜x＜lna時(shí)，p′（x）＜0，當(dāng)x＞lna時(shí)，p′（x）＞0，

∴p（x）在（0，lna）上單調(diào)遞減，在（lna，+∞）上單調(diào)遞增，

∴p（lna）＜p（0）=0，

而p（a）=ea﹣a2﹣1，（a＞1），

令φ（a）=ea﹣a2﹣1，則φ′（a）=ea﹣2a，φ″（a）=ea﹣2＞e﹣2＞0，

∴φ′（a）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，∴φ′（a）＞φ′（1）=e﹣2＞0，

∴φ（a）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，∴φ（a）＞φ（1）=e﹣2＞0，

即p（a）＞0，而p（lna）＜0，不合題意．

綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍（﹣∞，1]．

【解析】（1）根據(jù)奇函數(shù)的定義得出恒等式，從而得出a的值；（2）①由f′（x）與a無(wú)關(guān)即可得出切點(diǎn)橫坐標(biāo)，再計(jì)算切點(diǎn)坐標(biāo)得出切線方程，從而得出k，b的值；②由題意可知f（x）﹣h（x）在（0，+∞）上恒正或恒負(fù)，化簡(jiǎn)可得p（x）=ex﹣ax﹣1在（0，+∞）上恒正或恒負(fù)，討論a的范圍，計(jì)算p（a）的最值進(jìn)行判斷．