Question

8．已知雙曲線E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的右焦點(diǎn)為F，圓C：（x-$\frac{c}{2}$）²+y²=$\frac{{c}^{2}}{4}$與雙曲線的漸近線交于A，B，O三點(diǎn)（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．若△ABF為等邊三角形，則雙曲線E的離心率為（　　）

• A． $\sqrt{3}$
• B． 2
• C． $\sqrt{5}$
• D． 3

Answer 1

分析 求出雙曲線的漸近線方程，聯(lián)立方程組求出交點(diǎn)A的坐標(biāo)，結(jié)合三角形ABF是等邊三角形，建立方程關(guān)系進(jìn)行求解即可．

解答 解：雙曲線的漸近線為y=±$\frac{a}$x，
將y=$\frac{a}$x代入（x-$\frac{c}{2}$）²+y²=$\frac{{c}^{2}}{4}$得x=$\frac{{a}^{2}}{c}$，y=$\frac{ab}{c}$，
即A（$\frac{{a}^{2}}{c}$，$\frac{ab}{c}$），則C（$\frac{{a}^{2}}{c}$，0），
則AC=$\frac{ab}{c}$，CF=c-$\frac{{a}^{2}}{c}$=$\frac{{c}^{2}-{a}^{2}}{c}$=$\frac{^{2}}{c}$，
∵△ABF為等邊三角形，
∴∠AFC=30°，
則tan30°=$\frac{AC}{CF}$=$\frac{\frac{ab}{c}}{\frac{^{2}}{c}}$=$\frac{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
則b=$\sqrt{3}$a，
平方得b²=3a²=c²-a²，
即c²=4a²，則c=2a，
即離心率e=$\frac{c}{a}$=2，
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查雙曲線離心率的計(jì)算，根據(jù)條件求出交點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合正三角形的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．