Question

已知函數(shù)是偶函數(shù)，a為實(shí)常數(shù)．
（1）求b的值；
（2）當(dāng)a=1時(shí)，是否存在m，n（n＞m＞0）使得函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[m，n]上的函數(shù)值組成的集合也是[m，n]，若存在，求出m，n的值，否則，說(shuō)明理由；
（3）若在函數(shù)定義域內(nèi)總存在區(qū)間[m，n]（m＜n），使得y=f（x）在區(qū)間[m，n]上的函數(shù)值組成的集合也是[m，n]，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）由已知可得，，
且函數(shù)的定義域?yàn)镈=．
又y=f（x）是偶函數(shù)，故定義域D關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．
于是，b=0．
又對(duì)任意x∈D，有f（x）=f（-x），可得b=0．
因此所求實(shí)數(shù)b=0． …（3分）
（2）由（1）可知，．
由的圖象，
知：f（x）在區(qū)間（0，+∞）上是增函數(shù)，f（x）在區(qū)間（-∞，0）上是減函數(shù)
又n＞m＞0，
∴y=f（x）在區(qū)間[m，n]上是增函數(shù)．
∴有 ，
即方程，2x²-2x+1=0，
∵△=4-8＜0，
∴不存在正實(shí)數(shù)m，n，滿足題意．…（7分）
（3）由（1）可知，
．的圖象，
知f（x）在區(qū)間（0，+∞）上是增函數(shù)，f（x）在區(qū)間（-∞，0）上是減函數(shù)
因y=f（x）在區(qū)間[m，n]上的函數(shù)值組成的集合也是[m，n]，故必有m、n同號(hào)．
①當(dāng)0＜m＜n時(shí)，f（x）在區(qū)間[m，n]上是增函數(shù)，
有，
即方程，2x²-2ax+1=0有兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)根，
因此，
解得． …（10分）
②當(dāng)m＜n＜0時(shí)，f（x）在區(qū)間[m，n]上是減函數(shù)，
有，
化簡(jiǎn)得（m-n）a=0，a=0
綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍a=0，或a＞．…（12分）
分析：（1）由，知函數(shù)的定義域?yàn)镈=．再由y=f（x）是偶函數(shù)，故定義域D關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．由此能求出b．
（2）由（1）可知，． 由的圖象，可知：f（x）在區(qū)間（0，+∞）上是增函數(shù)，f（x）在區(qū)間（-∞，0）上是減函數(shù)，由此推導(dǎo)出不存在正實(shí)數(shù)m，n，滿足題意．
（3）由（1）可知，．的圖象，知f（x）在區(qū)間（0，+∞）上是增函數(shù)，f（x）在區(qū)間（-∞，0）上是減函數(shù)，由此能求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．
點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的奇偶性的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．