Question

3．拋物線y²=ax（a＞0）與直線x=1圍成的封閉圖形的面積為$\frac{4}{3}$，則二項(xiàng)式（x+$\frac{a}{x}$）²⁰展開(kāi)式中含x^-16項(xiàng)的系數(shù)是190．

Answer 1

分析 利用定積分，列出關(guān)于面積的式子，求出a，再利用二項(xiàng)式定理求系數(shù)的方法求解．

解答 解：已知拋物線y²=ax（a＞0）與直線x=1圍成的封閉圖形的面積為$\frac{4}{3}$，
利用定積分，面積S=∫₀¹[$\sqrt{ax}$-（-$\sqrt{ax}$）]dx=∫₀¹2$\sqrt{ax}$dx=$\frac{4}{3}$$\sqrt{a}$=$\frac{4}{3}$，得a=1，
利用二項(xiàng)式定理求系數(shù)的方法，T_r+1=C₂₀^r•x^20-2r，
依題意令20-2r=-16，得r=18，即二項(xiàng)式展開(kāi)式中含x^-16項(xiàng)的系數(shù)為C₂₀¹⁸=190．
故答案為190．

點(diǎn)評(píng) 本題考查定積分在求面積中的應(yīng)用及利用二項(xiàng)式定理求二項(xiàng)式系數(shù)的試題．