如圖，四棱錐中，面面，底面是直角梯形，側面是等腰直角三角形．且∥，，，．

（1）判斷與的位置關系；
（2）求三棱錐的體積；
（3）若點是線段上一點，當//平面時，求的長.

（1）；（2）；（3）.

解析試題分析：本題以四棱錐為幾何背景考查線線垂直、線面垂直、線面平行、線線平行的判定，在解題過程中還遇到了等腰直角三角形和直角梯形以及相似三角形等基礎知識，考查空間想象能力和推理論證能力.第一問，取中點，連結，因為是等腰直角三角形，所以，因為是直角梯形且，所以四邊形為正方形，所以，所以平面，所以；第二問，先利用面面垂直，可得到線面垂直，得到錐體的高，用等體積法將轉化為,再利用體積公式求值；第三問，先在面內找到線，這是由于// 平面，再利用相似三角形，得到邊長的關系，所以，所以.
試題解析：（1）證明：取中點，連結，．
因為，所以．
因為四邊形為直角梯形，，，
所以四邊形為正方形，所以．
所以平面．    所以 ．             4分
（2）由，面面易得
所以，       8分
（3）解：連接交于點，面面.
因為//平面，所以//．
在梯形中，有與相似，
可得
所以，               12分
考點：1.線面垂直的判定定理；2.等體積法；3.相似三角形的性質.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝4，AC＝BC＝3，D為AB的中點．

(Ⅰ)求異面直線CC1和AB的距離；
(Ⅱ)若AB1⊥A1C，求二面角A1－CD－B1的平面角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，已知三棱錐的側棱兩兩垂直，且，，是的中點。

（1）求異面直線與所成角的余弦值；
（2）求直線和平面的所成角的正弦值。
（3）求點E到面ABC的距離。

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

在三棱錐中,是邊長為2的正三角形,平面平面,,分別為的中點.

(1)證明:;
(2)求銳二面角的余弦值;

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

（如圖1）在平面四邊形中，為中點，，，且，現(xiàn)沿折起使，得到立體圖形（如圖2），又B為平面ADC內一點，并且ABCD為正方形，設F，G，H分別為PB，EB，PC的中點.

（1）求三棱錐的體積；
（2）在線段PC上是否存在一點M，使直線與直線所成角為？若存在，求出線段的長；若不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，四邊形PCBM是直角梯形，∠PCB=90°，PM∥BC，PM=1，BC=2．又AC=1，∠ACB=120°，AB⊥PC，直線AM與直線PC所成的角為60°．

（1）求證：PC⊥AC；
（2）求二面角M﹣AC﹣B的余弦值；
（3）求點B到平面MAC的距離．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,側面AA1B1B⊥底面ABC,側棱AA1與底面ABC成60°的 角,AA1=2.底面ABC是邊長為2的正三角形,其重心為G點,E是線段BC1上一點,且BE=3(1)BC1.

(1)求證:GE∥側面AA1B1B;
(2)求平面B1GE與底面ABC所成銳二面角的正切值;
(3)求點B到平面B1GE的距離.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

(1)如圖,ABC在平面外,AB∩=P,BC∩=Q,AC∩=R,求證:P,Q,R三點共線.

(2)如圖,空間四邊形ABCD中,E,F分別是AB和CB上的點,G,H分別是CD和AD上的點,  且EH與FG相交于點K. 求證:EH,BD,FG三條直線相交于同一點.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，點M是A1B的中點，點N是B1C的中點，連接MN

（Ⅰ）證明：MN//平面ABC；
（Ⅱ）若AB=1，AC=AA1=，BC=2，求二面角A—A1C—B的余弦值的大小

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