已知在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝4，AC＝BC＝3，D為AB的中點(diǎn)．

(Ⅰ)求異面直線CC1和AB的距離；
(Ⅱ)若AB1⊥A1C，求二面角A1－CD－B1的平面角的余弦值．

(Ⅰ)； (Ⅱ).

解析試題分析：(Ⅰ) 在直三棱柱ABC－A1B1C1中, AC＝BC＝3，D為AB的中點(diǎn)，易知CD⊥AB.又側(cè)棱垂直底面，從而有CC1⊥CD，即CD為異面直線CC1和AB的距離，計(jì)算其長(zhǎng)度即可；(Ⅱ)易證CD垂直于側(cè)面，從而CD⊥DA1，CD⊥DB1，故∠A1DB1為所求的二面角A1－CD－B1的平面角．再根據(jù)相關(guān)條件求出△A1DB1各邊，從而利用余弦定理求出所求角的余弦值即可.
試題解析：(Ⅰ)因AC＝BC，D為AB的中點(diǎn)，故CD⊥AB.
又直三棱柱中，CC1⊥面ABC，故CC1⊥CD，所以異面直線CC1和AB的距離為CD＝＝.
5分
(Ⅱ)由CD⊥AB，CD⊥BB1，故CD⊥面A1ABB1，從而CD⊥DA1，CD⊥DB1，故∠A1DB1為所求的二面角A1－CD－B1的平面角．                              8分
又CD⊥，AB1⊥A1C，所以AB1⊥平面,從而，都與互余，因此，所以∽，因此＝，得.從而A1D＝＝2，B1D＝A1D＝2，
所以在△A1DB1中，由余弦定理得.       12分
考點(diǎn)：1.異面直線的距離；2.直線與平面垂直的判定與性質(zhì)；3.二面角.

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖，四棱錐的底面是正方形，⊥平面，

（1）求證：；
（2）求二面角的大小.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖的幾何體中，平面，平面，△為等邊三角形，，為的中點(diǎn)．

（1）求證：平面；
（2）求證：平面平面.

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如圖四棱錐中，底面是平行四邊形，平面，垂足為，在上且，，，是的中點(diǎn)，四面體的體積為.

（1）求過(guò)點(diǎn)P，C，B，G四點(diǎn)的球的表面積；
（2）求直線到平面所成角的正弦值；
（3）在棱上是否存在一點(diǎn)，使，若存在，確定點(diǎn)的位置，若不存在，說(shuō)明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥面ABCD，AB=BC=2，AD=CD=，PA=，∠ABC=120°，G為線段PC的中點(diǎn).

（1）證明：PA//平面BGD；
（2）求直線DG與平面PAC所成的角的正切值.

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在長(zhǎng)方體中，為線段中點(diǎn)．

（1）求直線與直線所成的角的余弦值；
（2）若,求二面角的大�。�
（3）在棱上是否存在一點(diǎn),使得平面？若存在，求的長(zhǎng)；若不存在,說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖，已知四棱錐中，底面是直角梯形，，，，，平面，． 
（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）求證：平面；
（Ⅲ）若是的中點(diǎn)，求三棱錐的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖，在直三棱柱中，，，且是中點(diǎn).

(I)求證：平面；
(Ⅱ)求證：平面.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖，四棱錐中，面面，底面是直角梯形，側(cè)面是等腰直角三角形．且∥，，，．

（1）判斷與的位置關(guān)系；
（2）求三棱錐的體積；
（3）若點(diǎn)是線段上一點(diǎn)，當(dāng)//平面時(shí)，求的長(zhǎng).

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