Question

14．極坐標(biāo)系中，已知圓ρ=10cos$（{\frac{π}{3}-θ}）$
（1）求圓的直角坐標(biāo)方程．
（2）設(shè)P是圓上任一點(diǎn)，求點(diǎn)P到直線$\sqrt{3}x-y+2=0$距離的最大值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)方程互換的公式，即可化解．
（2）P是圓上任一點(diǎn)，點(diǎn)P到直線$\sqrt{3}x-y+2=0$距離的最大值為：d+r，即可得答案．

解答 解（1）圓ρ=10cos$（{\frac{π}{3}-θ}）$
化簡(jiǎn)可得：ρ=10cos$\frac{π}{3}$cosθ+10sin$\frac{π}{3}$sinθ
ρ²=5ρcosθ+5$\sqrt{3}$ρsinθ
∴${x}^{2}+{y}^{2}-5x-5\sqrt{3}y=0$．
故得圓的直角坐標(biāo)方程為：${x}^{2}+{y}^{2}-5x-5\sqrt{3}y=0$．
（2）由（1）可知圓的圓心為（$\frac{5}{2}$，$\frac{5\sqrt{3}}{2}$），半徑r=5，
題意：點(diǎn)P到直線$\sqrt{3}x-y+2=0$距離的最大值為：圓心到直線的距離+半徑，即d+r．
d=$\frac{|\sqrt{3}×\frac{5}{2}-\frac{5\sqrt{3}}{2}+2|}{2}=1$
∴最大距離為：1+5=6．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)方程互換，以及圓上動(dòng)點(diǎn)與定直線的最值問(wèn)題．屬于基礎(chǔ)題．