Question

5．已知a∈R，若$f（x）=（x+\frac{a}{x}）{e^x}$在區(qū)間（0，1）上只有一個極值點，則a的取值范圍為a＞0．

Answer 1

分析 求導數，分類討論，利用極值、函數單調性，即可確定a的取值范圍．

解答 解：∵f（x）=（x+$\frac{a}{x}$）e^x，
∴f′（x）=（$\frac{{x}^{3}{+x}^{2}+ax-a}{{x}^{2}}$）e^x，
設h（x）=x³+x²+ax-a，
∴h′（x）=3x²+2x+a，
a＞0，h′（x）＞0在（0，1）上恒成立，即函數h（x）在（0，1）上為增函數，
∵h（0）=-a＜0，h（1）=2＞0，
∴h（x）在（0，1）上有且只有一個零點x₀，使得f′（x₀）=0，
且在（0，x₀）上，f′（x）＜0，在（x₀，1）上，f′（x）＞0，
∴x₀為函數f（x）在（0，1）上唯一的極小值點；
a=0時，x∈（0，1），h′（x）=3x²+2x＞0成立，函數h（x）在（0，1）上為增函數，
此時h（0）=0，∴h（x）＞0在（0，1）上恒成立，
即f′（x）＞0，函數f（x）在（0，1）上為單調增函數，函數f（x）在（0，1）上無極值；
a＜0時，h（x）=x³+x²+a（x-1），
∵x∈（0，1），∴h（x）＞0在（0，1）上恒成立，
即f′（x）＞0，函數f（x）在（0，1）上為單調增函數，函數f（x）在（0，1）上無極值．
綜上所述，a＞0，故答案為：a＞0．

點評 本題考查導數知識的綜合運用，考查函數的單調性、極值，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．