Question

已知函數(shù)f（x）=x²+（2k-3）x+k²-7的零點(diǎn)分別是-1和-2
（1）求k的值；
（2）若x∈[-2，2]，則f（x）＜m恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵函數(shù)f（x）=x²+（2k-3）x+k²-7的零點(diǎn)分別是-1和-2，∴-1和-2是x²+（2k-3）x+k²-7=0的根，
∴-1+（-2）=3-2k，解得 k=3．
（2）由（1）可得 函數(shù)f（x）=x²+3x+2，由于x∈[-2，2]時(shí)，f（x）＜m恒成立，
故m大于函數(shù)f（x）=x²+3x+2 在[-2，2]上的最大值．
再由函數(shù)f（x）=x²+3x+2 在[-2，2]上的最大值為f（-）=-，故m＞-，
即m的取值范圍為（-，+∞）．
分析：（1）由題意可得-1和-2是x²+（2k-3）x+k²-7=0的根，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求出k的值．
（2）由（1）可得 函數(shù)f（x）=x²+3x+2，m大于函數(shù)f（x）=x²+3x+2 在[-2，2]上的最大值f（-），由此求得m的取值范圍．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的零點(diǎn)的定義，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．