Question

2．如果數(shù)列{a_n}中任意連續(xù)三項奇數(shù)項與連續(xù)三項偶數(shù)項均能構(gòu)成一個三角形的邊長，則稱{a_n}為“亞三角形”數(shù)列；對于“亞三角形”數(shù)列{a_n}，如果函數(shù)使得y=f（x）仍為一個“亞三角形”數(shù)列，則稱y=f（x）是數(shù)列{a_n}的一個“保亞三角形函數(shù)”（n∈N^*）．記數(shù)列{a_n}的前項和為S_n，c₁=2016，且5S_n+1-4S_n=10080，若g（x）=lgx是數(shù)列{c_n}的“保亞三角形函數(shù)”，則數(shù)列{c_n}的項數(shù)的最大值為（　�。�（參考數(shù)據(jù)：lg2≈0.30，lg2016≈3.304}．

• A． 33
• B． 34
• C． 35
• D． 36

Answer 1

分析 先利用條件求出數(shù)列{c_n}的通項公式，證明其滿足“亞三角形”數(shù)列．然后利用對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性得到g（c_n）是單調(diào)遞減函數(shù)，再由lgc_n+4+lgc_n+2＞lgc_n求解對數(shù)不等式得答案．

解答 解：由5S_n+1-4S_n=10080，得
5S_n-4S_n-1=10080（n≥2），兩式作差得：5c_n+1-4c_n=0（n≥2）．
∴$\frac{{c}_{n+1}}{{c}_{n}}=\frac{4}{5}$（n≥2）．
又c₁=2016，且5S_n+1-4S_n=10080，
∴5（c₁+c₂）-4c₁=10080，解得，${c}_{2}=\frac{8064}{5}$．
∴$\frac{{c}_{2}}{{c}_{1}}=\frac{\frac{8064}{5}}{2016}=\frac{4}{5}$．
則數(shù)列{c_n}是等比數(shù)列．
∴${c}_{n}=2016•（\frac{4}{5}）^{n-1}$．
由上可知，數(shù)列{c_n}是遞減數(shù)列．
∵${c}_{n+4}+{c}_{n+2}=2016•（\frac{4}{5}）^{n+3}+2016•（\frac{4}{5}）^{n+1}$=$\frac{656}{625}•2016•（\frac{4}{5}）^{n-1}＞2016•（\frac{4}{5}）^{n-1}={c}_{n}$．
∴數(shù)列{c_n}是“亞三角形”數(shù)列；
函數(shù)g（x）=lgx是增函數(shù)，則lgc_n是減函數(shù)．
由lgc_n+4+lgc_n+2＞lgc_n得，$lg2016+（n+3）lg\frac{4}{5}+lg2016+（n+1）lg\frac{4}{5}$$＞lg2016+（n-1）lg\frac{4}{5}$．
整理得：$（n+5）lg\frac{4}{5}＞-lg2016$．
解得：n＜33.04．
則數(shù)列{c_n}的項數(shù)的最大值為33．
故選：A．

點評 本題是在新定義下對數(shù)列的綜合考查，考查了對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性．關(guān)于新定義的題型，在作題過程中一定要理解定義，并會用定義來解題，是中檔題．