Question

4．若實(shí)數(shù)數(shù)列：1，a₁，a₂，a₃，81成等比數(shù)列，則圓錐曲線${x^2}+\frac{y^2}{a_2}=1$的離心率是（　�。�

• A． $\sqrt{10}$ 或$\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$
• B． $\sqrt{10}$
• C． $\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$
• D． $\frac{1}{3}$或$\sqrt{10}$

Answer 1

分析 由實(shí)數(shù)數(shù)列：1，a₁，a₂，a₃，81成等比數(shù)列，得到a₂=9，從而圓錐曲線${x^2}+\frac{y^2}{a_2}=1$為${x}^{2}+\frac{{y}^{2}}{9}$=1，由此能求出圓錐曲線${x^2}+\frac{y^2}{a_2}=1$的離心率．

解答 解：∵實(shí)數(shù)數(shù)列：1，a₁，a₂，a₃，81成等比數(shù)列，
∴1×q⁴=81，解得q²=9，
∴${a}_{2}=1×{q}^{2}$=9，
∴圓錐曲線${x^2}+\frac{y^2}{a_2}=1$為${x}^{2}+\frac{{y}^{2}}{9}$=1，
∴圓錐曲線${x^2}+\frac{y^2}{a_2}=1$的離心率e=$\frac{\sqrt{9-1}}{\sqrt{9}}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓錐曲線的離心率的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意橢圓性質(zhì)和等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用．