試證明:在平面上所有通過點(diǎn)(,0)的直線中,至少通過兩個有理點(diǎn)(有理點(diǎn)指坐標(biāo)x、y均為有理數(shù)的點(diǎn))的直線有一條且只有一條.

      

證明:先證存在性.?

       因?yàn)橹本�y=0顯然通過點(diǎn)(,0),且直線y=0至少通過兩個有理點(diǎn),例如它通過(0,0)和(1,0).這說明滿足條件的直線有一條.?

       再證唯一性.?

       假設(shè)除了直線y=0外還存在一條直線y=kx+b(k≠0或b≠0)通過點(diǎn)(,0),且該直線通過有理點(diǎn)A(x1,y1)與B(x2,y2),其中x1、y1、x2、y2均為有理數(shù).?

       因?yàn)橹本�y=kx+b通過點(diǎn)(,0),所以b=-k,于是y=k(x-),且k≠0.又直線通過A(x1,y1)與B(x2,y2)兩點(diǎn),?

       所以y1=k(x1-),                            ①?

       y2=k(x2-).                                  ②?

       ①-②,得y1-y2=k(x1-x2).                     ③?

       因?yàn)锳、B是兩個不同的點(diǎn),且k≠0,所以x1≠x2,y1≠y2.?

       由③,得k=,且k是不等于零的有理數(shù).?

       由①,得=x1-.?

       此式的左邊是無理數(shù),右邊是有理數(shù),出現(xiàn)了矛盾.?

       所以,平面上通過點(diǎn)(2,0)的直線中,至少通過兩個有理點(diǎn)的直線只有一條.?

       綜上所述,滿足上述條件的直線有一條且只有一條.?


練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

試證明：在平面上所有過點(diǎn)（
2
，0）的直線中，至少通過兩個有理點(diǎn)（有理點(diǎn)指橫、縱坐標(biāo)均為有理數(shù)的點(diǎn)）的直線有且只有一條．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

試證明：在平面上所有過點(diǎn)（
2
，0）的直線中，至少通過兩個有理點(diǎn)（有理點(diǎn)指橫、縱坐標(biāo)均為有理數(shù)的點(diǎn)）的直線有且只有一條．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

(本小題滿分14分)

設(shè)，是平面直角坐標(biāo)系上的兩點(diǎn)，現(xiàn)定義由點(diǎn)到點(diǎn)的一種折線距離為

對于平面上給定的不同的兩點(diǎn)，,

（1）若點(diǎn)是平面上的點(diǎn)，試證明

（2）在平面上是否存在點(diǎn)，同時滿足

①    ②

若存在，請求出所有符合條件的點(diǎn)，請予以證明。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2013年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)卷E（十）（解析版） 題型：解答題

試證明：在平面上所有過點(diǎn)（，0）的直線中，至少通過兩個有理點(diǎn)（有理點(diǎn)指橫、縱坐標(biāo)均為有理數(shù)的點(diǎn)）的直線有且只有一條．

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