Question

試證明：在平面上所有過點（，0）的直線中，至少通過兩個有理點（有理點指橫、縱坐標均為有理數的點）的直線有且只有一條．

Answer 1

【答案】分析：①先證明直線的存在性：由于直線y=0經過點（，0），且至少經過兩個有理點（0，0）、（1，0），可得一定存在滿足條件的直線．
②再證明唯一性：假設除了直線y=0外，經過點（，0），還有一條直線y=k（x-） 經過2個不同的有理點A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），求得k= 為有理數．而由 可得k= 是無理數，矛盾，故假設不正確．綜合①②，命題得證．
解答：解：①先證明直線的存在性：
由于直線y=0經過點（，0），且至少經過兩個有理點（0，0）、（1，0），故一定存在過點（，0），且至少經過兩個有理點的直線．
②再證明唯一性：假設除了直線y=0外，經過點（，0），還有一條直線y=k（x-） 經過2個不同的有理點A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
其中，x₁，y₁，x₂，y₂都是有理數，且x₁≠x₂，y₁≠y₂．
則有 ，且，∴y₁-y₂=k（x₁-x₂），∴k= 為有理數．
而由 可得k= 是無理數，矛盾，故假設不正確．
綜上，在平面上所有過點（，0）的直線中，至少通過兩個有理點（有理點指橫、縱坐標均為有理數的點）的直線有且只有一條．
點評：本題主要考查直線的一般式方程，用反證法證明數學命題，屬于基礎題．