Question

已知函數(shù)f（x）=

(3a-1)x+4a，(x＜1) logax，(x≥1)

（a∈R）
（1）作出a=

1

2

時函數(shù)f（x）的圖象；
（2）若函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞減，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：分段函數(shù)的應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）a=

1

2

時函數(shù)f（x）=

1 2 x+2，x＜1 log 1 2 x，x≥1

，作出直線y=

1

2

x+2后取x＜1的部分；再作出對數(shù)函數(shù)y=log

1

2

x的圖象，取x≥1的部分．
（2）若函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞減，則當x≥1時函數(shù)y=log_ax遞減，故0＜a＜1，同時函數(shù)y=（3a-1）x+4a遞減，需滿足3a-1＜0且函數(shù)值≥0．

解答： 解：（1）a=

1

2

時函數(shù)f（x）=

1 2 x+2，x＜1 log 1 2 x，x≥1

，畫此分段函數(shù)如圖：

（2）要使函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞減，則當x≥1時函數(shù)y=log_ax遞減，∴0＜a＜1，
同時函數(shù)y=g（x）=（3a-1）x+4a遞減且g（1）≥0，即

3a-1＜0 3a-1+4a≥0

，∴

1

7

≤a＜

1

3

，
∴a的取值范圍：{a|

1

7

≤a＜

1

3

}．

點評：本題考查分段函數(shù)圖象的作法，涉及函數(shù)的單調(diào)性，屬中檔題．