Question

14．PM2.5是指大氣中直徑小于或等于2.5微米的顆粒物，也稱為可入肺顆粒物．我國(guó)PM2.5標(biāo)準(zhǔn)采用世衛(wèi)組織設(shè)定的最寬限值，即PM2.5日均值在35微克/立方米以下空氣質(zhì)量為一級(jí)；在35微克/立方米～75微克/立方米之間空氣質(zhì)量為二級(jí)；在75微克/立方米以上空氣質(zhì)量為超標(biāo)．
某市環(huán)保局從市區(qū)2016年全年每天的PM2.5監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取15天的數(shù)據(jù)作為樣本，監(jiān)測(cè)值如莖葉圖所示（十位為莖，個(gè)位為葉）
（Ⅰ）從這15天的數(shù)據(jù)中任取一天，求這天空氣質(zhì)量達(dá)到一級(jí)的概率；
（Ⅱ）從這15天的數(shù)據(jù)中任取3天的數(shù)據(jù)，記ξ表示其中空氣質(zhì)量達(dá)到一級(jí)的天數(shù)，求ξ的分布列；
（Ⅲ）以這15天的PM2.5的日均值來(lái)估計(jì)一年的空氣質(zhì)量情況，（一年按360天來(lái)計(jì)算），則一年中大約有多少天的空氣質(zhì)量達(dá)到一級(jí)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）用頻率估計(jì)概率，求出“從這15天的數(shù)據(jù)中任取一天，這天空氣質(zhì)量達(dá)到一級(jí)”的概率；
（Ⅱ）依據(jù)條件，ξ服從超幾何分布，ξ的可能值為0，1，2，3，
且P（ξ=k）=$\frac{{C}_{5}^{k}{•C}_{10}^{3-k}}{{C}_{15}^{k}}$，寫出分布列；
（Ⅲ）依題意知一年中每天空氣質(zhì)量達(dá)到一級(jí)的概率P，
一年中空氣質(zhì)量達(dá)到一級(jí)的天數(shù)η，η～B（360，$\frac{1}{3}$），計(jì)算Eη即可．

解答 解：（Ⅰ）記“從這15天的數(shù)據(jù)中任取一天，這天空氣質(zhì)量達(dá)到一級(jí)”為事件A，
則P（A）=$\frac{5}{15}$=$\frac{1}{3}$；
（Ⅱ）依據(jù)條件，ξ服從超幾何分布，其中N=15，M=5，n=3，
ξ的可能值為0，1，2，3，其分布列為：
P（ξ=k）=$\frac{{C}_{5}^{k}{•C}_{10}^{3-k}}{{C}_{15}^{k}}$，其中k=0，1，2，3；

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{24}{91}$	$\frac{45}{91}$	$\frac{20}{91}$	$\frac{2}{91}$

…（8分）
（Ⅲ）依題意可知，一年中每天空氣質(zhì)量達(dá)到一級(jí)的概率為P=$\frac{5}{15}$=$\frac{1}{3}$，
一年中空氣質(zhì)量達(dá)到一級(jí)的天數(shù)為η，則η～B（360，$\frac{1}{3}$）；
∴Eη=360×$\frac{1}{3}$=120（天），
∴一年中平均有120天的空氣質(zhì)量達(dá)到一級(jí)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等可能事件概率的求法，以及離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望的計(jì)算問題，是基礎(chǔ)題．