Question

已知平面上的動點P（x，y）及兩定點A（-2，0），B（2，0），直線PA，PB的斜率分別是 k₁，k₂且k1•k2=-

1

4

．
（1）求動點P的軌跡C的方程；
（2）設(shè)直線l：y=kx+m與曲線C交于不同的兩點M，N．
①若OM⊥ON（O為坐標(biāo)原點），證明點O到直線l的距離為定值，并求出這個定值
②若直線BM，BN的斜率都存在并滿足kBM•kBN=-

1

4

，證明直線l過定點，并求出這個定點．

Answer 1

分析：（1）利用斜率計算公式即可得出；
（2）把直線l的方程與橢圓方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系，①利用OM⊥ON?x₁x₂+y₁y₂=0即可得到k與m的關(guān)系，再利用點到直線的距離公式即可證明；
②利用斜率計算公式和根與系數(shù)的關(guān)系即可得出k與m的關(guān)系，進(jìn)而證明結(jié)論．

解答：解：（1）由題意得

y

x+2

•

y

x-2

=-

1

4

，（x≠±2），即x²+4y²=4（x≠±2）．
∴動點P的軌跡C的方程是

x2

4

+y2=1(x≠±2)．
（2）設(shè)點M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），聯(lián)立

y=kx+m x2+4y2=4

，化為（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0，
∴△=64k²m²-16（m²-1）（1+4k²）=16（1+4k²-m²）＞0．
∴x1+x2=-

8km

1+4k2

，x1x2=

4m2-4

1+4k2

．
∴y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k2x1x2+km(x1+x2)+m2，
①若OM⊥ON，則x₁x₂+y₁y₂=0，∴(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=0，
∴

(1+k2)(4m2-4)

1+4k2

-

8k2m2

1+4k2

+m2=0，化為m2=

4

5

(1+k2)，此時點O到直線l的距離d=

|m|

1+k2

=

2 5

5

．
②∵k_BM•k_BN=-

1

4

，∴

y1

x1-2

•

y1

x1+2

=-

1

4

，
∴x₁x₂-2（x₁+x₂）+4+4y₁y₂=0，
∴x1x2-2(x1+x2)+4+4k2x1x2+4km(x1+x2)+4m2=0，
代入化為4m2-4-

8km(4km-2)

1+4k2

+4m2+4=0，化簡得m（m+2k）=0，解得m=0或m=-2k．
當(dāng)m=0時，直線l恒過原點；
當(dāng)m=-2k時，直線l恒過點（2，0），此時直線l與曲線C最多有一個公共點，不符合題意，
綜上可知：直線l恒過定點（0，0）．

點評：本題綜合考查了直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為直線l的方程與橢圓方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系、OM⊥ON?x₁x₂+y₁y₂=0、點到直線的距離公式、斜率計算公式等基礎(chǔ)知識與基本能力，考查了推理能力和計算能力．