Question

已知平面上的動(dòng)點(diǎn)P(x，y)及兩定點(diǎn)A(－2,0)，B(2,0)，直線PA，PB的斜率分別是k₁，k₂，且k₁·k₂＝－.

 (1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；

(2)已知直線l：y＝kx＋m與曲線C交于M，N兩點(diǎn)，且直線BM、BN的斜率都存在，并滿足k_BM·k_BN＝－，求證：直線l過(guò)原點(diǎn)．

 

Answer 1

【答案】

解：(1)由題意得·＝－(x≠±2)，

即x²＋4y²－4＝0.

所以點(diǎn)P的軌跡C的方程為

＋y²＝1(x≠±2)．

(2)設(shè)M(x₁，y₁)，N(x₂，y₂)，

聯(lián)立方程，

得(4k²＋1)x²＋8kmx＋4m²－4＝0.

所以x₁＋x₂＝，x₁x₂＝.

所以y₁y₂＝(kx₁＋m)(kx₂＋m)＝k²x₁x₂＋km(x₁＋x₂)＋m²＝.[來(lái)源:Zxxk.Com]

又k_BM·k_BN＝－，即·＝－，

即x₁x₂－2(x₁＋x₂)＋4＋4y₁y₂＝0.

代入并整理得m(m＋2k)＝0，即m＝0或m＝－2k，

當(dāng)m＝0時(shí)，直線l恒過(guò)原點(diǎn)；

當(dāng)m＝－2k時(shí)，直線l恒過(guò)點(diǎn)(2,0)，但不符合題意．

所以直線l恒過(guò)原點(diǎn)．

 

【解析】略