Question

如圖，三棱柱ABB₁-DCC₁中，BC⊥面ABB₁，∠ABB₁=90°，AB=4，BC=2，CC₁=2，棱CD上有一動點P，則△APC₁周長的最小值為（　�。�

• A、4

  2

  +2

  6

• B、4

  5

  +2

  6

• C、3

  2

  +2

  6

• D、2

  2

  +4

  6

Answer 1

考點：多面體和旋轉(zhuǎn)體表面上的最短距離問題

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：不妨令CP=a，則DP=4-a，分別在直角三角形ADC中求AP，在直角三角形C₁PC求出C₁P，在直角三角形C₁CA求出C₁A，然后相交求周長．將周長表示為參數(shù)a的函數(shù)，由于a∈[0，4]，在這個區(qū)間上求出周長的最小值即可．

解答：解：DC上有一動點P，令CP=a，則DP=4-a，
由于直三棱柱ABB₁-DCC₁中，∠ABB₁=90°，AB=4，BC=2，CC₁=2，
∴周長S=AP+C₁P+C₁A=

4+(4-a)2

+

4+a2

+

22+22+42

≥

[0-(-2)]2+(a-4)2

+

(0-2)2+(a-0)2

+2

6

其中是

[0-(-2)]2+(a-4)2

+

(0-2)2+(a-0)2

可以看作平面直角坐標(biāo)系中（a，0）與兩點（4，-2）以及（0，2）兩點距離和的最小值，由圖形中點（a，0）恰好是過兩點（4，-2）與（0，2）的直線與x軸的交點時，上式的值最小．
兩點（4，-2）與（0，2）的距離，其值為

16+16

=4

2

，故△APC₁周長的最小值為4

2

+2

6

．
故選：A．

點評：本題考點是點、線、面之間的距離，考查用勾股定理在直角三角形中求兩點間的距離，解答本題的關(guān)鍵是找到所求線段存在的直角三角形，由于本題是一個直三棱柱且其兩個側(cè)面垂直，這為找出各求各邊所在的直角三角形帶來了方便．