Question

關(guān)于x的方程2x²+3ax+a²-a=0至少有一個(gè)模為1的復(fù)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的所有可能值為________．

Answer 1

分析：原方程的根是實(shí)根與虛根討論：（1）對(duì)于方程 2x²+3ax+a²-a=0 若方程有實(shí)根，（2）若方程有共軛復(fù)數(shù)根，則可設(shè)兩根為cosθ+isinθ、cosθ-isinθ，分別求出a的值，從而得到答案．
解答：（1）對(duì)于方程 2x²+3ax+a²-a=0 若方程有實(shí)根，則實(shí)根中有一個(gè)根為1或-1，
△=9a²-8（a²-a）=a（a+8）≥0，得a≤-8或a≥0，
將x=1代入方程，得2+3a+a²-a=0，即a²+2a+2=0，a無實(shí)根；
將x=-1代入方程，得2-3a+a²-a=0，即a²-4a+2=0，得a=2±
（2）若方程有共軛復(fù)數(shù)根，則可設(shè)兩根為cosθ+isinθ、cosθ-isinθ，
△=9a²-8（a²-a）=a（a+8）＜0，得-8＜a＜0 由韋達(dá)定理，
有 cosθ+isinθ+cosθ-isinθ=2cosθ=-a，
得cosθ=-a，
（cosθ+isinθ）（cosθ-isinθ）=cos²θ+sin²θ=1=（a²-a），
即（a+1）（a-2）=0，?a=2或a=-1，
a=-1時(shí)，cosθ=∈[-1，1]；
a=2不在-8＜a＜0的范圍內(nèi)，舍去．
∴a=-1
故答案為：a=2±或-1
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查一元二次方程的根的分布與系數(shù)的關(guān)系、復(fù)數(shù)的三角形式的應(yīng)用、復(fù)數(shù)相等等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查分類討論思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．