Question

6．在平面直角坐標系xOy中，已知圓C：（x-3）²+y²=4，點A，B在圓C上，且$|{AB}|=2\sqrt{3}$，則$|{\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}}|$的最大值是（　�。�

• A． 8
• B． $4\sqrt{2}$
• C． 4
• D． $2\sqrt{2}$

Answer 1

分析 本題可利用AB中點M去研究，先通過坐標關系，將$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$轉(zhuǎn)化為$\overrightarrow{OM}$，用根據(jù)AB=2$\sqrt{3}$得到M點的軌跡，由圖形的幾何特征，求出$\overrightarrow{OM}$模的最大值，得到本題答案．

解答 解：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中點M（x′，y′）．
∵x′=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，y′=$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$
∴$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$=（x₁+x₂，y₁+y₂）=2$\overrightarrow{OM}$，
∵圓C：x²+y²-6x+5=0，
∴（x-3）²+y²=4，圓心C（3，0），半徑CA=2．
∵點A，B在圓C上，AB=2$\sqrt{3}$，
∴CA²-CM²=（$\frac{1}{2}$AB）²，
即CM=1．
點M在以C為圓心，半徑r=1的圓上
∴OM≤OC+1=3+1=4．
∴|$\overrightarrow{OM}$|≤4，
∴|$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$|≤8．
故選：A．

點評 本題考查了數(shù)形結(jié)合思想和函數(shù)方程的思想，可利用AB中點M去研究，先通過坐標關系，將$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$轉(zhuǎn)化為$\overrightarrow{OM}$，用根據(jù)AB=2$\sqrt{3}$得到M點的軌跡，由圖形的幾何特征，求出$\overrightarrow{OM}$模的最大值，得到本題答案．