Question

17．若偶函數(shù)y=f（x），x∈R，滿足f（x+2）=-f（x），且x∈[0，2]時，f（x）=3-x²，函數(shù)g（x）=sin（|x|），則使方程f（x）=g（x）在[-10，10]內(nèi)根的個數(shù)為（　�。�

• A． 7
• B． 8
• C． 9
• D． 10

Answer 1

分析 根據(jù)條件求出函數(shù)的周期性，根據(jù)函數(shù)的奇偶性和周期性的關(guān)系求出函數(shù)在一個周期內(nèi)的解析式，利用數(shù)形結(jié)合斤求解即可．

解答 解：由f（x+2）=-f（x），得f（x+4）=-f（x+2）=-[-f（x）]=f（x），
即函數(shù)f（x）的周期是4．
若x∈[-2，0]，則-x∈[0，2]，
即f（-x）=3-x²，
∵f（x）是偶函數(shù)，
∴f（-x）=3-x²=f（x），
即f（x）=3-x²，x∈[-2，0]，
∴f（x）=3-x²，x∈[-2，2]，
作出函數(shù)f（x）和g（x）=sin（|x|）在[-10，10]上的圖象如圖：
則兩個函數(shù)的交點(diǎn)個數(shù)為10個，
故方程f（x）=g（x）在[-10，10]內(nèi)根的個數(shù)為10個，
故選：D．

點(diǎn)評 本題主要考查函數(shù)解析式的求解，函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，以及函數(shù)與方程的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．