Question

6．與雙曲線$\frac{{x}^{2}}{2}$-y²=1有相同的漸近線，且右焦點(diǎn)F到漸近線的距離為2的雙曲線方程是（　�。�

• A． $\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{6}=1$
• B． $\frac{{y}^{2}}{3}-\frac{{x}^{2}}{6}=1$
• C． $\frac{{x}^{2}}{8}-\frac{{y}^{2}}{4}=1$
• D． $\frac{{y}^{2}}{4}-\frac{{x}^{2}}{8}=1$

Answer 1

分析 求得已知雙曲線的漸近線方程，設(shè)所求雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a，b＞0），由題意可得$\frac{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式，可得c，由a，b，c的關(guān)系，解方程可得a，b，進(jìn)而得到雙曲線的方程．

解答 解：雙曲線$\frac{{x}^{2}}{2}$-y²=1的漸近線方程為y=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，
設(shè)所求雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a，b＞0），
由題意可得$\frac{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
右焦點(diǎn)F（c，0）到漸近線y=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$x的距離為2，
可得$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}c}{\sqrt{1+\frac{1}{2}}}$=2，解得c=2$\sqrt{3}$，即a²+b²=12，
解得a=2$\sqrt{2}$，b=2，
即有雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{8}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的方程的求法，注意運(yùn)用漸近線方程和雙曲線的方程的關(guān)系，以及點(diǎn)到直線的距離公式，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．