Question

5．如圖所示，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，E，F(xiàn)分別是BC，CC₁的中點．
（Ⅰ）證明：平面AEF⊥平面B₁BCC₁；
（Ⅱ）若該三棱柱所有的棱長均為2，求三棱錐B₁-AEF的體積．

Answer 1

分析 （I）由BB₁⊥平面ABC可知BB₁⊥AE，又AE⊥BC可得AE⊥平面BCC₁B₁，從而平面AEF⊥平面B₁BCC₁；
（II）由（1）知AE為棱錐A-B₁EF的高．于是V${\;}_{{B}_{1}-AEF}$=V${\;}_{A-{B}_{1}EF}$=$\frac{1}{3}{S}_{△{B}_{1}EF}•AE$．

解答 解：（I）∵BB₁⊥面ABC，AE?平面ABC，
∴AE⊥BB₁，
∵E是正三角形ABC的邊BC的中點，
∴AE⊥BC，
又∵BC?平面B₁BCC₁，B₁B?平面B₁BCC₁，BC∩BB₁=B，
∴AE⊥平面B₁BCC₁，∵AE?平面AEF，
∴平面AEF⊥平面B₁BCC₁．
（II）∵三棱柱所有的棱長均為2，
∴AE=$\sqrt{3}$，
∴S${\;}_{△{B}_{1}EF}$=2×2-$\frac{1}{2}×2×1$-$\frac{1}{2}×1×1$$-\frac{1}{2}×2×1$=$\frac{3}{2}$，
由（I）知AE⊥平面B₁BCC₁
∴${V_{{B_1}-AEF}}={V_{A-{B_1}EF}}=\frac{1}{3}•\frac{3}{2}•\sqrt{3}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．

點評 本題考查了面面垂直的判定，棱錐的體積計算，屬于基礎(chǔ)題．