Question

16．已知x⁵（x+3）³=a₈（x+1）⁸+a₇（x+1）⁷+…+a₁（x+1）+a₀，求7a₇+5a₅+3a₃+a₁=-8．

Answer 1

分析 對(duì)x⁵（x+3）³=a₈（x+1）⁸+a₇（x+1）⁷+…+a₁（x+1）+a₀，兩邊求導(dǎo)可得：5x⁴（x+3）³+x⁵×3（x+3）²=8a₈（x+1）⁷+7a₇（x+1）⁶+…+a₁，分別令x=0，x=-2，即可得出．

解答 解：對(duì)x⁵（x+3）³=a₈（x+1）⁸+a₇（x+1）⁷+…+a₁（x+1）+a₀，
兩邊求導(dǎo)可得：5x⁴（x+3）³+x⁵×3（x+3）²=8a₈（x+1）⁷+7a₇（x+1）⁶+…+a₁，
令x=0時(shí)，可得：0=8a₈+7a₇+…+a₁，
令x=-2，可得：5×2⁴×1-2⁵×3×1=-8a₈+7a₇+…+a₁，
∴7a₇+5a₅+3a₃+a₁=$\frac{1}{2}$×（-16）=-8．
故答案為：-8．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．