Question

8．若函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{3}-3x，x≤a}\\{-2x，x＞a}\end{array}\right.$無最大值，則實數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． （-1，+∞）
• B． （-∞，1）
• C． （0，+∞）
• D． （-∞，-1）

Answer 1

分析 求出函數(shù)f（x）的導數(shù)，可得極值點，討論a=-1，a＜-1，a＞-1，結(jié)合單調(diào)性和f（x）無最大值，可得a的不等式組，解不等式可得a的范圍．

解答 解：函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{3}-3x，x≤a}\\{-2x，x＞a}\end{array}\right.$的導數(shù)為
f′（x）=$\left\{\begin{array}{l}{3{x}^{2}-3，x≤a}\\{-2，x＞a}\end{array}\right.$，
令f′（x）=0，則x=±1，
當a=-1時，可得f（x）在（-∞，-1]遞增，
可得f（x）在x=-1處取得最大值2，與題意不符，舍去；
則$\left\{\begin{array}{l}{a＜-1}\\{-2a＞{a}^{3}-3a}\end{array}\right.$，或 $\left\{\begin{array}{l}{a＞-1}\\{-2a＞{a}^{3}-3a}\\{-2a＞2}\end{array}\right.$，
即為$\left\{\begin{array}{l}{a＜-1}\\{a＜0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a＞-1}\\{a＜0}\\{a＜-1}\end{array}\right.$，即為a＜-1或a∈∅．
綜上可得a∈（-∞，-1）．
故選：D．

點評 本題考查函數(shù)的最值的求法，注意運用導數(shù)判斷單調(diào)性，以及運用分類討論的思想方法，考查運算能力，屬于中檔題．