Question

20．已知a∈R，（a+cosx）（a-sinx）=1有實根，那么a的范圍是[-1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，-1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$]∪[1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$]．

Answer 1

分析 若（a+cosx）（a-sinx）=1有實根，則$\frac{1}{2}$（cosx-sinx）²+a（cosx-sinx）+${a}^{2}-\frac{3}{2}$=0有實根，令t=cosx-sinx=$\sqrt{2}$cos（x+$\frac{π}{4}$）∈[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]，則方程$\frac{1}{2}$t²+at+${a}^{2}-\frac{3}{2}$=0在[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]上有解，解得a的范圍．

解答 解：若（a+cosx）（a-sinx）=1有實根，
則$\frac{1}{2}$（cosx-sinx）²+a（cosx-sinx）+${a}^{2}-\frac{3}{2}$=0有實根，
令t=cosx-sinx=$\sqrt{2}$cos（x+$\frac{π}{4}$）∈[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]，
則方程$\frac{1}{2}$t²+at+${a}^{2}-\frac{3}{2}$=0在[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]上有解，
即-a+$\sqrt{3-{a}^{2}}$∈[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]，或-a-$\sqrt{3-{a}^{2}}$∈[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]，
a∈[-1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，-1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$]∪[1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$]，
故答案為：[-1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，-1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$]∪[1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$]

點評 本題考查的知識點是函數(shù)的零點與方程的根的關系，換元法，不等式的解法，難度中檔．