Question

設定義在R上的函數(shù)f（x）滿足：f（tanx）=

1

cos2x

，則f（2）+f（3）+…+f（2015）+f（

1

2

）+f（

1

3

）+…+f（

1

2015

）=

 

．

Answer 1

考點：三角函數(shù)的化簡求值,函數(shù)的值,同角三角函數(shù)基本關系的運用

專題：函數(shù)的性質及應用,三角函數(shù)的求值

分析：由已知中f（tanx）=

1

cos2x

，根據(jù)萬能公式，可得f（x）的解析式，進而可得f（x）+f（ 

1

x

）=0，進而可得答案．

解答： 解：∵f（tanx）=

1

cos2x

=

1+tan2x

1-tan2x

，
∴f（x）=

1+x2

1-x2

，f（

1

x

）=

1+( 1 x )2

1-( 1 x )2

=

1+x2

x2-1

=-

1+x2

1-x2

∴f（x）+f（

1

x

）=0
∴f（2）+f（3）+…+f（2015）+f（

1

2

）+f（

1

3

）+…+f（

1

2015

）=0
故答案為：0

點評：本題考查的知識點是三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值，其中根據(jù)已知求出f（x）=

1+x2

1-x2

，以及f（x）+f（

1

x

）=0是解答的關鍵．