Question

3．已知向量$\overrightarrow m=（cosx\;，\;-1）$，$\overrightarrow n=（\sqrt{3}sinx\;，\;{cos^2}x）$，設(shè)函數(shù)$f（x）=\overrightarrow m\;•\;\overrightarrow n$
（1）求f（x）在區(qū)間[0，π]上的零點
（2）若銳角△ABC，a=2，$f（A）=\frac{1}{2}$，求b+c的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）進(jìn)行數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，并根據(jù)兩角差的正弦公式化簡即可得到$f（x）=sin（2x-\frac{π}{6}）-\frac{1}{2}$，而令f（x）=0即可得出$sin（2x-\frac{π}{6}）=\frac{1}{2}$，由x∈[0，π]即可求出2x-$\frac{π}{6}$的范圍，從而求出x的值，即得出f（x）在區(qū)間[0，π]上的零點；
（2）由A為銳角及$f（A）=\frac{1}{2}$即可求出$A=\frac{π}{3}$，從而在△ABC中，由余弦定理即可得出4=b²+c²-bc，進(jìn)而得出4=（b+c）²-3bc，根據(jù)基本不等式$bc≤（\frac{b+c}{2}）^{2}$，這樣即可得出（b+c）²≤16，從而得出b+c的取值范圍．

解答 解：（1）$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}=\sqrt{3}sinxcosx-co{s}^{2}x$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}sin2x-\frac{1+cos2x}{2}$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}sin2x-\frac{1}{2}cos2x-\frac{1}{2}$
=$sin（2x-\frac{π}{6}）-\frac{1}{2}$；
∴$f（x）=sin（2x-\frac{π}{6}）-\frac{1}{2}$；
令f（x）=0得，$sin（2x-\frac{π}{6}）=\frac{1}{2}$；
∵x∈[0，π]；
∴$2x-\frac{π}{6}∈[-\frac{π}{6}，\frac{11π}{6}]$；
∴$2x-\frac{π}{6}=\frac{π}{6}$，或$2x-\frac{π}{6}=\frac{5π}{6}$；
解得$x=\frac{π}{6}$，或$\frac{π}{2}$；
即f（x）在區(qū)間[0，π]上的零點為$\frac{π}{6}$和$\frac{π}{2}$；
（2）據(jù)題意：$A∈（0，\frac{π}{2}）$；
∴$2A-\frac{π}{6}∈（-\frac{π}{6}，\frac{5π}{6}）$；
∴由$f（A）=\frac{1}{2}$得：$sin（2A-\frac{π}{6}）=1$；
∴$2A-\frac{π}{6}=\frac{π}{2}$；
∴$A=\frac{π}{3}$；
又a=2；
∴在△ABC中，根據(jù)余弦定理得：
$4=^{2}+{c}^{2}-2bccos\frac{π}{3}$
=b²+c²-bc
=（b+c）²-3bc；
∵$bc≤（\frac{b+c}{2}）^{2}$；
即$bc≤\frac{（b+c）^{2}}{4}$；
∴$（b+c）^{2}-3bc≥\frac{（b+c）^{2}}{4}$；
∴$\frac{（b+c）^{2}}{4}≤4$；
∴（b+c）²≤16；
又b+c＞2；
∴2＜b+c≤4；
∴b+c的取值范圍為（2，4]．

點評 本題考查數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，兩角差的正弦公式，函數(shù)零點的定義，熟悉正弦函數(shù)的圖象，余弦定理，以及基本不等式，不等式的性質(zhì)，兩邊之和與第三邊的關(guān)系．