函數f(x)的定義域D={x|x≠0},且滿足對于任意x1,x2∈D,有f(x1•x2)=f(x1)+f(x2).
(1)求f(1)與f(-1)的值;
(2)判斷函數的奇偶性并證明;
(3)若x>1時,f(x)>0,求證f(x)在區(qū)間(0,+∞)上是增函數;
(4)在(3)的條件下,若f(4)=1,求不等式f(3x+1)≤2的解集.
分析:(1)利用該抽象函數滿足的函數值關系的性質,賦兩個自變量相應的值,可以求解出f(1)與f(-1)的值;
(2)根據函數的奇偶性的定義結合已知條件得出f(-x)與f(x)的關系是解決本題的關鍵,注意對自變量賦合適的函數值;
(3)根據單調性的定義,任取定義區(qū)間的兩個自變量,比較其函數值得出f(x)在區(qū)間(0,+∞)上的遞增性質;
(4)利用(3)中函數的單調性,將函數值的關系轉化為相應自變量的關系列出關于x的不等式是解決本題的關鍵.
解答:解:(1)令x
1=x
2=1,有f(1×1)=f(1)+f(1),解得f(1)=0.
令x
1=x
2=-1,有f[(-1)×(-1)]=f(-1)+f(-1)=f(1)=0,解得f(-1)=0.
(2)令x
1=-1,x
2=x,有f(-x)=f(-1)+f(x)=f(x),定義域關于原點對稱可得f(x)是偶函數.
(3)設x
1,x
2∈(0,+∞)且x
1<x
2,則
>1,
f()>0,
則
f(x2)=f(•x1)=f()+f(x1)>f(x1),
∴f(x)在區(qū)間(0,+∞)上是增函數.
(4)f(16)=f(4×4)=f(4)+f(4)=2,
由f(3x+1)≤2變形為f(3x+1)≤f(16).
∵f(x)為偶函數,∴f(-x)=f(x)=f(|x|),在(3)的條件下有f[|3x+1|]≤f(16)
∴|3x+1|≤16且3x+1≠0,解得x∈
[-,-)∪(-,5].
點評:本題考查抽象函數問題的解決方法,考查賦值法求給定自變量處函數值,賦值法確定函數奇偶性、單調性的方法,充分發(fā)揮定義的引領作用.考查函數單調性在轉化求解自變量時的應用作用.