Question

已知關(guān)于x的函數(shù)f（x）=x²+2ax+b（其中a，b∈R）
（Ⅰ）求函數(shù)|f（x）|的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）令t=a²-b．若存在實(shí)數(shù)m，使得同時(shí)成立，求t的最大值．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵f（x）=x²+2ax+b=（x+a）²-（a²-b）
∴①當(dāng)a²-b≤0時(shí)，單調(diào)區(qū)間為：（-∞，-a]上為減，[-a，+∞）上為增；（2分）
②當(dāng)a²-b＞0時(shí)，單調(diào)區(qū)間為：減，
增，減，增（5分）
（Ⅱ）因?yàn)椋喝舸嬖趯?shí)數(shù)m，使得同時(shí)成立，即為兩變量對應(yīng)的函數(shù)值都小于等于的兩變量之間間隔不超過1，故須對a²-b和，的大小分情況討論
①當(dāng)時(shí)，由方程，解得，
此時(shí)，不滿足．（8分）
②當(dāng)時(shí)，由方程，解得
此時(shí)，滿足題意．（11分）
③當(dāng)時(shí)，由方程，方程和解得，
此時(shí)由于，
所以只要即可，此時(shí)，綜上所述t的最大值為．（16分）
分析：（Ⅰ）f（x）=（x+a）²-a²+b開口向上，但a²-b的正負(fù)不定，所以在取絕對值時(shí)要分類討論．在每一種情況下分別求|f（x）|的單調(diào)區(qū)間．
（Ⅱ）存在實(shí)數(shù)m，使得同時(shí)成立，即為兩變量對應(yīng)的函數(shù)值都小于等于的兩變量之間間隔不超過1，故須對a²-b和，的大小分情況討論，求出a²-b的取值范圍，進(jìn)而求得t的最大值．
點(diǎn)評：本題考查了數(shù)學(xué)上的分類討論思想．分類討論目的是，分解問題難度，化整為零，各個(gè)擊破．