Question

已知函數(shù)y=ax³+bx²，當(dāng)x=1時，有極大值3
（1）求函數(shù)的解析式
（2）寫出它的單調(diào)區(qū)間
（3）求此函數(shù)在[-2，2]上的最大值和最小值．

Answer 1

（1）y′=3ax²+2bx，當(dāng)x=1時，y′|_x=1=3a+2b=0，y|_x=1=a+b=3，
即

3a+2b=0 a+b=3

，解得a=-6，b=9，
所以函數(shù)解析式為：y=-6x³+9x²．
（2）由（1）知y=-6x³+9x²，
y′=-18x²+18x，令y′＞0，得0＜x＜1；令y′＜0，得x＞1或x＜0，
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，1），函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，0），（1，+∞）．
（3）由（2）知：當(dāng)x=0時函數(shù)取得極小值為0，當(dāng)x=1時函數(shù)取得極大值3，
又y|_x=-2=84，y|_x=2=-12．
故函數(shù)在[-2，2]上的最大值為84，最小值為-12．