Question

已知函數y=f（x）是R上的偶函數，對于x∈R都有f（x+6）=f（x）+f（3）成立，當x₁，x₂∈[0，3]，且x₁≠x₂時，都有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0．給出下列命題：
①f（-3）=0；
②直線x=-6是函數y=f（x）的圖象的一條對稱軸；
③函數y=f（x）在[-9，-6]上為增函數；
④函數y=f（x）在[-9，9]上有四個零點．
其中所有正確命題的序號為

 

．（把所有正確命題的序號都填上）．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：函數的性質及應用

分析：①由于f（x+6）=f（x）+f（3），令x=-3可得f（-3）=0；
②利用函數y=f（x）是R上的偶函數，f（-3）=0，f（x+6）=f（x）+f（3）可得f（x）是以6為周期的函數，繼而有f（-6-x）=f（-6+x），從而可判斷②；
③當x₁，x₂∈[0，3]，且x₁≠x₂時，都有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0，⇒f（x）在[0，3]上是增函數，而y=f（x）是R上的偶函數，于是f（x）在[-3，0]上是減函數，再利用其周期為6，即可得到函數y=f（x）在[-9，-6]上為減函數，從而可判斷③；
④利用①②③可知f（-3）=f（3）=0，f（-9）=f（9）=0，且只有這四解，從而可判斷④．

解答： 解：①∵y=f（x）是R上的偶函數，
∴f（x）=f（-x），又f（x+6）=f（x）+f（3），
∴f（-3+6）=f（-3）+f（3），即f（3）=f（-3）+f（3），
∴f（-3）=0，即①正確；
②∵f（-3）=0，∴f（3）=f（-3）=0，∴f（x+6）=f（x）+f（3）=f（x），
∴f（x）是以6為周期的函數，又f（-x）=f（x），
∴f（-x-6）=f（-6+x）
∴直線x=-6是函數y=f（x）的圖象的一條對稱軸，即②正確；
③∵當x₁，x₂∈[0，3]，且x₁≠x₂時，都有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0，
∴f（x）在[0，3]上是增函數，而y=f（x）是R上的偶函數，
∴f（x）在[-3，0]上是減函數，又其周期為6，
∴函數y=f（x）在[-9，-6]上為減函數，故③錯誤；
④由①③知，f（3）=f（-3）=0，f（x）在[0，3]上是增函數，∴[0，3]上只有一解為3，由對稱性知，f（x）在[-3，0]只有一解為-3，
又其周期為6，∴f（x）在[3，6]上是減函數，在[6，9]上是增函數，在[-6，-3]上是增函數，在[-9，-6]上為減函數；
∵f（x）關于x=6對稱，∴f（x）在[3，6]上只有一解為3，
∴由對稱性知f（x）在[6，9]上只有一解為9，在區(qū)間[-6，-3]只有一解-3；
綜上所述，只有四解，為-9，-3，3，9，故④正確．
∴所有正確命題的序號為①②④．
故答案為：①②④．

點評：本題考查函數的單調性、周期性、對稱性的綜合應用，考查分析、運算、推理及思維能力，屬于難題．