Question

如圖，扇形AOB，圓心角AOB等于60°，半徑為2，在弧AB上有一動點P，過P引平行于OB的直線和OA交于點C，設(shè)∠AOP=θ，求△POC面積的最大值及此時θ的值．

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)CP∥OB求得∠CPO和和∠OCP進而在△POC中利用正弦定理求得PC和OC，進而利用三角形面積公式表示出S（θ）利用兩角和公式化簡整理后，利用θ的范圍確定三角形面積的最大值．
解答：解：因為CP∥OB，所以∠CPO=∠POB=60°-θ，∴∠OCP=120°．
在△POC中，由正弦定理得
=，∴=，所以CP=sinθ．
又=，∴OC=sin（60°-θ）．
因此△POC的面積為
S（θ）=CP•OCsin120°=•sinθ•sin（60°-θ）×
=sinθsin（60°-θ）=sinθ（cosθ-sinθ）
=（sinθcosθ-sin²θ）
=（sin2θ+cos2θ-）
=[cos（2θ-60°）-]，θ∈（0°，60°）．
所以當(dāng)θ=30°時，S（θ）取得最大值為．
點評：本題主要考查了三角函數(shù)的模型的應(yīng)用．考查了考生分析問題和解決問題的能力．